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第十二講 等腰三角形的判定
由于等腰三角形有豐富的性質(zhì)，這 些性質(zhì)為我們解幾何題提供了新的理論依據(jù)，所以尋找發(fā)現(xiàn)等腰三角形是解一些幾何題的關(guān)鍵，判定一個三角形為等腰三角形的基本方法是：從定義入手，證明一個三角形的兩條邊相等；從角入手，證明一個三角形的兩個角相等， 實際解題中 的一個常用技巧是，構(gòu)造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質(zhì)為解題服務，常用的構(gòu)造方法有：
1．“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形；
2．“角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形；
3．用“垂直平分線”構(gòu)造等腰三角形；
4．用“三角形中角的2倍關(guān)系”構(gòu)造等腰三角形．


例題求解
【例1】 如圖，一個六邊形的6個內(nèi)角都是120°，其連續(xù)四邊的長依次是1、9、9、5，那么這個六邊形的周長是 cm．
(“祖沖之杯”邀請賽試題)
思路點撥 設法將六邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形的問題加以解決，六邊形的外角都為60°，利用60°構(gòu)造等邊三角形是解本例的關(guān)鍵．

注 證明線段相等是最基本的幾何問題，目前常用證法有：
(1)若兩線段屬于兩個三角形，則考慮證對應的三角形全等；
(2)若兩線段是同一個三角形兩邊，則考慮用等角對等邊證明；
(3)尋找中間線段，通過等 量代換證明．
類似的，我們可以對證明角相等、等邊三角形的判定作歸納總結(jié)．
不同形狀的幾何圖形之間可互相轉(zhuǎn)化，向外補形與對內(nèi)分割是基本的兩種轉(zhuǎn)化方式．
【例2】 如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的P點有( )
A．2個 B．4個 C．6個 D．8個
(江蘇省競賽題)
思路點撥 AB既可作等腰三角形PAB的腰，也可作為等腰三角形PAB的底，故要思考全面，才能正確地得出符合條件的P點的個數(shù)．
【例3】 如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求證：AB十BD＝CD．
(天津市競賽題)
思路點撥 如何利用條件∠B=2∠C?又怎樣得到AB+BD?不同的思考方向，會找到解題的不同方法．
【例4】 如圖甲，點C為線段AB上一點，△ACM、△CBN是等邊三角形，直線AN、MC交于點E，直線BM、CN交于點F．
(1)求證：AN=BM；
(2)求證：△CEF是等邊三角形；
(3)將△ACM繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，其他條件不變，在圖乙中補出符合要求的圖形，并判斷第(1)、(2)兩小屬結(jié)論是否仍然 成立(不要求證明)．
(荊門市中考題)


思路點撥 圖甲中有多對全等三角形，這是解(1)、(2)問的基礎(chǔ)．
注 若僅將題中的條件∠A＝30°改為∠A=45°，則符合條件的點有幾個?若將題中的條件∠A=30°，改為∠A≠30°，∠A≠45°，則符合條件的P點有幾個?請讀者思考．
分折法(執(zhí)果溯因)，綜合法(由因?qū)Ч?是兩種最基本的分析方法．
處理題設條件中的“兩倍角”的基本途徑是：
(1)向外構(gòu)造等腰三角形； (2)對內(nèi)作角平分線．
【例5】 如圖，在五邊形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C=∠D，BC=DE，M為CD中點，求證：AM⊥CD． (武漢市選拔賽試題)
思路點撥 證明∠AMC=90°或應用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，通過作輔助線將五邊形問題恰當?shù)剞D(zhuǎn)化為三角形問題是解本例的關(guān)鍵．


學歷訓練
1．如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線相交于O 點．作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC，BC＝a，AC=b，AB＝c，則△GMO周長+△ENO的周長－△FHO的周長 ．
2．如圖，△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、E是BC上兩點，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，則圖中等腰三角形共有 個．

3．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，則∠D：∠C的值= ．
（“五羊杯”競賽題）
4．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于E點，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四個結(jié)論：
①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC= ∠DAB；④△ABE是等邊三角形．請寫出正確結(jié)論的序號 ．(把你認為正確結(jié)論的序號都填上) (2002午天津市中考題)
5．如圖， 在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分別是AB、AC的中垂線，E、M在BC上，則∠EAM等于( )
A．58° B．3 2° C．36° D．34°


6．如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，則AC與2AB之間的關(guān)系是( )
A．AC>2AB B．AC＝2AB C．AC≤2AB D．AC<2AB
(山東省競賽題)
7．等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半，則其頂角等于( )
A．30° B．30°或150°C． 120°或150° D．30°或120°或150°
(“希望杯”邀請賽試題)
8．在銳角△ABC中，三個內(nèi)角的度數(shù)都是質(zhì)數(shù)，則這樣的三角形( )
A．只有一個且為等腰三角形
B．至少有兩個且都為等腰三角形
C．只有一個但不是等腰三角形
D．至少有兩個，其中有非等腰三角形
9．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點．
(1)寫出點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的關(guān)系．
(2)如果點M、N分別在線段AB、AC上 移動，在移動中保持AN=BM，請判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論． (廣東省中考題)


10．如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF＝EF．

11．如圖，已知等邊三角形ABC，在AB 上取點D，在AC上取點E，使得AD=AE，作等邊三角形PCD，QAE和RAB，求證：P、Q、R是等邊三角形的三個頂點．
12．在△ABC中，AB=AC，高線AD= BC，AE為∠BAC的平分線，則∠CAD的度數(shù)為 ． (北京市競賽題)
13．如圖，△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，則∠A= ．
14．如圖，四邊形ABCD中，AE、AF分別是BC，CD的中垂線，∠EAF=80°，∠CBD=30°，則∠ABC= ，∠ADC= ． (天津市競賽題)
15．有一個等腰三角形紙片，若能從一個底角的頂點出發(fā)，將其剪成兩個等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的頂角為 度． (江蘇省競賽題)
16．在等邊△ABC所在的平面內(nèi)求一點P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有這樣性質(zhì)的點P有( )
A．1個 B．4個 C．7個 D．10個
17．如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC= DC= DE，則∠D＝（ ）
A．30° B．450° C． 60° D．67．5°
18．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC內(nèi)一點，則( )


A．PA+PB+PCAB+AC
C．PA+PB+PC=AB+AC D．PA+PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系不確定，與P點位置有關(guān)


19．如圖，在△ABC內(nèi)，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別為∠BAC、∠AB C的角平分線．求證：BQ+AQ=AB+BP．
(2002年全國初中數(shù)學競賽矗)
20，如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC>60°，∠ABD=60°，且∠ADB=90°一 ∠BDC，求證：AC=BD+DC． (天津市競賽題)
21．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC，D是△ABC內(nèi)一點，且∠DAC=∠DCA=15°，求證：BD＝BA．
22．在平面內(nèi)確定四點，連接每兩點， 使任意三點構(gòu)成等腰三角形(包括等邊三角形)，且每兩點之間函線段長只有兩個數(shù)值，則這四點的取法有多少種?畫圖說明．
(濰坊市中考題)
23．（1）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABD=60°，∠BCD=120°，證明：BC+DC=AC．
(2)如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P為四邊形ABCD內(nèi)一點，且∠APD=120°，證明：PA+PD+PC≥BD． (江蘇省競賽題)

24．如圖，等邊三角形ABD和等邊三角形CBDD的長均為a，現(xiàn)把它們拼合起來，E是AD上異于A、D兩點的一動點，F(xiàn)是CD上一動點，滿足AE+CF＝a．
(1)E、F移動時，△BEF的形狀如何?
(2)求△BEF面積的最小值．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.douzifanli.com/chuer/68329.html

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