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第九講 三角形的邊與角
三角形是最基本的圖形之一，是研究其他復雜圖形的基礎，三角形的三邊相互制約，三個內角之和為定值，邊與角之間有密切的聯(lián)系(如大角對大邊、大邊對大角等)，反映三角形的邊與角關聯(lián)的基本知識有：三角形三邊關系定理及推論、三角形內角和定理及推論等，它們在線段。角度的計算、圖形的計數(shù)等方面有廣泛的應用．
解與三角形的邊與角有關的問題時，往往要用到數(shù)形結合及分類討論法，即用代數(shù)方法(方程、不等式)解幾何計算題及簡單的證明題，按邊或角對三角形進行分類．
熟悉以下基本圖形、并證明基本結論：
(1) ∠l＋∠2=∠3+∠4；
(2) 若BD、CO分別為∠ABC、∠ACB的平分線，則∠BOC=90°+ ∠A；
(3)若BO、CO分別為∠DBC、∠ECB的平分線，則∠BOC=90°－ ∠A；
(4)若BE、CE分別為∠ABC、∠ACD的平分線，則∠E= ∠A．


注： 中線、角平分線、高是三角形中的重要線段，它們的差別在于高隨著三角形形狀的不同，可能在三角內部、邊 上或外部．
代數(shù)法解幾何計算問題的基本思路是通過設元，運用幾何知識建立方程(組)、不等式(組)，將問題轉化為解方程(組)或解不等式(組)．
例題求解
【例1】 在△ABC中，三個內角的度數(shù)均為整數(shù)，且∠A<∠B<∠C，4∠C＝7∠A，則∠B的度數(shù)為 ．(北京市競賽題)
思路點撥 設∠C＝x°，根據(jù)題設條件及三角形內角和定理把∠A、∠B用x的代數(shù)式表示，建立關于x的不等式組．
【例2】以1995的質因數(shù)為邊長的三角形共有( )
A．4個 B．7個 C．13個 D．60個
(河南省競賽題)
思路點撥 1995=3×5×7×19，為做到計數(shù)的準確，可將三角形按邊分類，注意三角形三邊應滿足的關系制約．
【例3】 (1)如圖，BE是∠ABD的平分線．CF是∠ACD的平 分線，BE與CF交于G，若∠BDC=140 °，∠BGC=110°，求∠A的大�。�
(“希望杯”邀請賽試題)
(2)在 △ABC中，∠A=50°，高BE、CF交于O，且O不與B、C重合，求∠BOC的度數(shù)． (“東方航空杯”――上海市競賽題)
思路點撥 (1)運用凹邊形的性質計算．(2)由O不與B、C重合知，∠B、∠C均非直角，這樣，△ABC既可能是銳角三角形又可能是鈍角三角形，故應分兩種情況討論．
【例4】 周長為30，各邊長互不相等且都是整數(shù)的三角形共有多少個?
(2003年河南省競賽題)
思路點撥 不妨設三角形三邊為a、b、c，且a＜b＜c，由三角形三邊關系定理及題設條件可確定 c的取值范圍，以此作為解題的突破口．
注 如圖，在凹四邊ABCD中，∠BDC=∠A＋∠B＋∠C．請讀者證明．
解所研究的問題的圖形形狀不惟一或幾何固形位置關系不確定或與分類概念相關的命題時．往往用到分類討論法．

【例5】 (1)用長度相等的100根火柴桿，擺放成一個三角形，使最大邊的長度是最小邊長度的3倍，求滿足此條件的每個三角形的各邊所用火柴桿的根數(shù)．
(大原市競賽題)
(2)現(xiàn)有長為150cm的鐵絲，要截成n(n>2)小段，每段的長為不小于l?的整數(shù)．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，試求n的最大值，此時有幾種方法將該鐵絲截成滿足條件的n段．
(第17屆江蘇省競賽題)
思路點撥 (1)設三角形各邊需用火柴桿數(shù)目分別為x、y、3x，綜合運用題設條件及三角形邊的關系等知識，建立含等式、不等式的混合組，這是解本例的突破口．
(2)因n段之和為定值150?，故欲n盡可能的大，必須每段的長度盡可能小，這樣依題意可構造一個數(shù)列．
學力訓練
1．若三角形的三個外角的比是2：3：4，則這個三角形的最大內角的度數(shù)是 ．
(2003年河南省競賽題)
2．一條線段的長為a，若要使3a―l，4a+1，12－a這三條線段組成一個三角形，則a的取值范圍是 ．
3．如圖，在△ABC中，兩條角平分線CD、BE相交于點F，∠A＝60°，則∠DFE＝ 度．

4．如圖，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，則∠DCE＝ ．
(用α、β表示)． (山東省競賽題)
5．若a、b、c為三角形的 三邊，則下列關系式中正確的是( )
A． B．
C． D．
(江蘇省競賽題)
6．△ABC的內角A、B、C滿足3A>5B，3C≤2B，則這個三角形是( )
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定
7．如圖，△ABC內有三個點D、E、F，分別以A、B、C、D、E、F這六個點為頂點畫三角形，如果每個三角形的頂點都不在另一個三角形的內部，那么，這些三角形的所有內角之和為( )
A．360° B．900° C．1260° D．1440° (重慶市競賽題)

8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠C的平分線與∠B的外角平分線交于E點，連結AE，則∠AEB是( )
A．50° B．45° C．40° D．35° (山東省競賽題)
9．如圖，已知∠3＝∠1+∠2，求證：∠A+∠B+∠C+∠D＝180°．
10．如圖，已知射線ox與射線oy互相垂直，B，A分別為ox、oy上一動點，∠ABx、∠BAy的平分線交于C．
問：B、A在ox、oy上運動過程中，∠C的度數(shù)是否改變?若不改變，求出其值；若改變， 說明理由．

11．已知三角形的三條邊長均為整數(shù)，其中有一條邊長是4，但它不是最短邊，這樣的三角形共有 個．
12．三角形的三個內角分別為α、β、γ，且α≥β≥γ，α=2γ，則β的取值范圍 ．
13．已知△ABC的周長是12，三邊為a、b、c，若b 是最大邊，則b的取值范圍是 ．
14．如圖，E和D分別在△ABC的邊BA和CA的延長線上，CF、EF分別平分∠ACB和∠AED，若∠B＝70°，∠D=40°，則∠F的大小是 ．
15．已知△ABC中，∠B=60°，∠C>∠A，且(∠C)2＝(∠A)2+(∠B)2，則△ABC的形狀是( )
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定
( “希望杯”邀請賽試題)
16．不等邊三角形中，如果有一條邊長等于另外兩條邊長的平均值，那么，最大邊上的高與最小邊上的高的比值 的取值范圍是( )
A． B． C． 117．已知三角形的三邊的長a、b、c都是整數(shù)，且a≤b A．14個 B．28個 C ．21個 D．49個
18．如果三角形的一個外角大于這個三角形的某兩個內角的2倍，那么這個三角形一定是( )
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．直角或鈍角三角形
19．如圖，已知DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度數(shù)．


20．不等邊△ABC的兩條高長度分別為4和12，若第三條高的長也是整數(shù)，試求它的長．
(美國數(shù)學邀請賽試題)
21．將長度為2n(n為自然數(shù)，且n≥4)的一根鉛絲折成各邊的長均為整數(shù)的三 角形，記(a，b，c)為三邊的長，且滿足a≤b≤c的一個三角形．
(1)就n＝4，5，6的情況，分別寫出所有滿足題意的(a，b，c)；
(2)有人根據(jù)(1)中的結論，便猜想：當鉛絲的長度為2n(n為自然數(shù)且n≥4)時，對應(a，b，c)的個數(shù)一定是n－3，事實上，這是一個不正確的猜想，請寫出n＝12時的所有(a，b，c)，并回答(a，b，c)的個 數(shù)；
(3)試將n=12時所有滿足題意的(a，b，c)，按照至少兩種不同的標準進行分類．
(河北省初中數(shù)學創(chuàng)新與知識應用競賽試題)
22．閱讀以下材料并填空．
平面上有n個點(n≥2)，且任意三個點不在同一條直線上，過這些點作直線，一共能作出多少條不同的直線?
(1)分析：當僅有兩個點時，可連成1條直線；當有3個點時，可連成3條直線；當有4個點時，可連成6條直線；有5個點時，可連成l0條直線……
(2)歸納：考察點的個數(shù)n和可連成直線的條數(shù)S發(fā)現(xiàn)：
(1)分析：當僅有兩個點時，可連成1條直線；當有3個點時 ，可連成3．條直線；當有4個點時，可連成6條直線；當有5個點時，可連成1 O條直線；
(2)歸納：考察點的個數(shù)n和可連成直線的條數(shù)Sn，發(fā)現(xiàn)：
點的個數(shù)可連成直線條數(shù)
21=S2=
3 3=S3=
46=S4=
510= S5=

…………
n
(3)推理：平面上有n個點，兩點確定一條直線．取第一個點以有n種取法，取第二個點B有(n－1)種取法，所以一共可連成n(n－1)條直線，但A B與BA是同一條直線，故應除以2，即Sn= ．
(4)結論：Sn= ．
試探究以下問題：平面上有n(n≥3)個點，任意三個點不在同一直線上，過任意三點作三角形，一共能作出多少不同的三角形?
(1)分析：當僅有3個點時，可作 個三角形；當有4個點時，可作 個三角形；當有5個點時，可作 個三角形．
(2)歸納：考察點的個數(shù)n和可作出的三角形的個數(shù)Sn,發(fā)現(xiàn)：(填下表)
點的個數(shù) 可連成三角形個數(shù)
3
4
5
…
n

(3)推理：
(4)結論：
(甘肅省中考題)

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.douzifanli.com/chuer/77668.html

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