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第18章 平行四邊形
時間：120分鐘　　　　　滿分：120分
一、選擇題(每小題3分，共30分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．如圖，▱ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，已知AD=8，BD=12，AC=6，則△OBC的周長為（　�。�
 
A．13           B．17           C．20             D．26
2．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，則四邊形ABCD的面積為（　�。�
 
A．6          B．12             C．20            D．24
3．如圖，DE是△ABC的中位線，過點(diǎn)C作CF∥BD交DE的延長線于點(diǎn)F，則下列結(jié)論正確的是（　�。�
 
A．EF=CF           B．EF=DE      C．CF＜BD       D．EF＞DE
4．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位線，延長DE交△ABC的外角∠ACM的平分線于點(diǎn)F，則線段DF的長為（　�。�
 
A．7            B．8          C．9              D．10
5．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，∠ADE=30°，DF=4，則BF的長為（　　）
 
A．4               B．8         C．2             D．4
6．如圖，已知四邊形ABCD的面積為8cm2，AB∥CD，AB＝CD，E是AB的中點(diǎn)，那么△AEC的面積是(　　)
A．4cm2  B．3cm2   C．2cm2   D．1cm2
             
第6題圖                   第7題圖
7．如圖，在▱ABCD中，延長AB到點(diǎn)E，使BE＝AB，連接DE交BC于點(diǎn)F，則下列結(jié)論不一定成立的是(　　)
A．∠E＝∠CDF  B．EF＝DF 
C．AD＝2BF  D．BE＝2CF
8．如圖，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，CF平分∠BCD交AD于點(diǎn)F，AB＝3，AD＝5，則EF的長為(　　)
A．1  B．1.5  C．2  D．2.5
                   
第8題圖                第9題圖               第10題圖
9．如圖，在▱ABCD中，E是AD邊上的中點(diǎn)，連接BE，并延長BE交CD的延長線于點(diǎn)F，則△EDF與△BCF的周長之比是(　　)
A．1∶2  B．1∶3  C．1∶4  D．1∶5
10．如圖，以▱ABCD的邊CD為斜邊向內(nèi)作等腰直角△CDE，使AD＝DE＝CE，∠DEC＝90°，且點(diǎn)E在平行四邊形內(nèi)部，連接AE，BE，則∠AEB的度數(shù)是(　　)
A．120°  B．135°  C．150°  D．45°
二、填空題(每小題3分，共24分)
11．已知平行四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝270°，則∠C＝________．
12．如圖，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足為E，F(xiàn)，若∠EAF＝59°，則∠B＝________度．
                   
第12題圖                    第13題圖               第14題圖
13．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AC，BC，BA延長線上的點(diǎn)，四邊形ADEF為平行四邊形，DE＝2，則AD＝________．
14．如圖，4×4的方格中每個小正方形的邊長都是1，若四邊形ABDC的面積記作S1，四邊形ECDF的面積記作S2，則S1與S2大小關(guān)系是__________．
15．如圖，線段AB，CD相交于點(diǎn)O，且圖上各點(diǎn)把線段AB，CD四等分，這些點(diǎn)可以構(gòu)成________個平行四邊形．
               
第15題圖                     第16題圖
16．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，作AE∥DC交BC于E.△ABE的周長是25cm，四邊形ABCD的周長是37cm，那么AD＝________cm.
17．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝－6x(x<0)的圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作▱ABCD，使點(diǎn)B，C在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，則▱ABCD的面積為________．
                   
第17題圖                        第18題圖
18．如圖，在▱ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF，CF，則下列結(jié)論中一定成立的是________[提示：直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半]．
①∠DCF＝12∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；
④∠DFE＝3∠AEF.

三、解答題(共66分)
19．(8分)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE平分∠BAD，交DC的延長線于點(diǎn)E.求證：DA＝DE.

20.(10分)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，延長BA至點(diǎn)E，使AE＋CD＝AD，連接CE.
求證：CE平分∠BCD.
 
21．(10分)如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝10，將△ABC繞點(diǎn)B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△A1BC1.
(1)線段A1C1的長度是________，∠CBA1的度數(shù)是________；
(2)連接CC1，求證：四邊形CBA1C1是平行四邊形．
 

22．(12分)已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC.
(1)求證：四邊形ABDF是平行四邊形；
(2)若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的長．

23．(12分)如圖，平行四邊形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，且BE＝DF，連接EF交BD于O.
(1)求證：BO＝DO；
(2)若EF⊥AB，延長EF交AD的延長線于G，當(dāng)FG＝1時，求AE的長．
 

24．(14分)在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在邊BC所在的直線上，過點(diǎn)D作DF∥AC交直線AB于點(diǎn)F，DE∥AB交直線AC于點(diǎn)E.
(1)當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時，如圖①，求證：DE＋DF＝AC；
(2)當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上時，如圖②；當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的反向延長線上時，如圖③，請分別寫出圖②、圖③中DE，DF，AC之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；
(3)若AC＝6，DE＝4，則DF＝________．
 
答案
BDBBD  CDAAB
11．45°　12.59　13.7　14.S1＝S2　15.4　16.6
17．6　解析：如圖，連接OA，CA，則S△OAD＝12|k|＝12×6＝3.∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC∥AD，∴S△CAD＝S△OAD＝3，∴S▱ABCD＝2S△CAD＝6.
 
18．①②④　解析：①∵F是AD的中點(diǎn)，∴AF＝FD.
∵在▱ABCD中，AD＝2AB，∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF.∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DCF＝12∠BCD，故①正確；
②延長EF交CD延長線于M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF.∵F為AD的中點(diǎn)，∴AF＝DF.在△AEF和△DMF中，∠A＝∠MDF，AF＝DF，∠AFE＝∠DFM，∴△AEF≌△DMF，∴FE＝FM，∠AEF＝∠M.∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°.∵AB∥CD，∴∠ECD＝90°.∵FM＝EF，∴FC＝EF，故②正確；③∵EF＝FM，∴S△EFC＝S△CFM.∵M(jìn)C＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC，故③錯誤；④設(shè)∠FEC＝x，則∠FCE＝x，∴∠DCF＝∠DFC＝90°－x，∴∠EFC＝180°－2x，∴∠EFD＝90°－x＋180°－2x＝270°－3x.∵∠AEF＝90°－x，∴∠DFE＝3∠AEF，故④正確．故答案為①②④.
19．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，(2分)∴∠E＝∠BAE.(4分)∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，(6分)∴∠E＝∠DAE，∴DA＝DE.(8分)
20．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∴∠E＝∠DCE.(3分)∵AE＋CD＝AD，∴AE＋AB＝BC，∴BE＝BC，∴∠E＝∠BCE，(6分)∴∠DCE＝∠BCE，即CE平分∠BCD.(10分)
21．(1)10　135°(4分)
(2)證明：∵∠A1C1B＝∠C1BC＝90°，∴A1C1∥BC.(6分)∵A1C1＝AC＝BC，∴四邊形CBA1C1是平行四邊形．(10分)
22．(1)證明：∵BD垂直平分AC，∴∠BCD＝∠BAD.
∵∠BCD＝∠ADF，∴∠BAD＝∠ADF，∴AB∥DF.(3分)∵AF⊥AC，BD⊥AC，∴∠FAE＝∠DEC＝90°，∴AF∥BD，∴四邊形ABDF是平行四邊形．(5分)
(2)解：∵四邊形ABDF是平行四邊形，∴AB＝DF＝5，BD＝AF＝5.設(shè)BE＝x，則DE＝BD－BE＝5－x.(8分)在△ABD中，∵AE⊥BD，∴AD2－DE2＝AB2－BE2，∴36－(5－x)2＝25－x2，解得x＝1.4，即BE＝1.4，(11分)∴AE＝AB2－BE2＝4.8，∴AC＝2AE＝9.6.(12分)
23．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∴∠OBE＝∠ODF.(1分)在△OBE與△ODF中，∠BOE＝∠DOF，∠OBE＝∠ODF，BE＝DF，∴△OBE≌△ODF，(4分)
∴BO＝DO.(5分)
(2)解：∵EF⊥AB，AB∥DC，∴∠GFD＝∠GEA＝90°.∵∠A＝45°，∴∠G＝∠A＝45°，∴AE＝GE.(7分)∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠GDO＝90°，∴∠GOD＝∠G＝45°，∴DG＝DO，∴OF＝FG＝1.(9分)由(1)可知，OE＝OF＝1，(10分)∴GE＝OE＋OF＋FG＝3，∴AE＝3.(12分)
24．(1)證明：∵DF∥AC，DE∥AB，∴四邊形AFDE是平行四邊形，∴AF＝DE.(2分)∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C.(3分)又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠FDB＝∠B，∴DF＝BF.(6分)∴DE＋DF＝AF＋BF＝AB＝AC.(7分)
(2)圖②中：AC＋DF＝DE.(9分)圖③中：AC＋DE＝DF.(11分)
(3)2或10(14分)