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一、曲線與方程
1．已知曲線C上點的坐標(biāo)都是方程f（x，y）=0的解，則下列命題正確的是（ ）
A．坐標(biāo)滿足方程f（x，y）=0的點都在曲線C上
B．方程f（x，y）=0是曲線C的方程
C．曲線C是滿足方程f（x，y）=0的曲線
D．方程f（x，y）=0的曲線包含曲線C上任意一點
2．已知坐標(biāo)滿足方程f（x，y）=0的點都在曲線C上，那么下列結(jié)論正確的是（ ）
A．曲線C上的點的坐標(biāo)都適合方程f（x，y）=0
B．凡坐標(biāo)不適合f（x，y）=0的點都不在曲線C上
C．不在曲線C上的點的坐標(biāo)必不適合方程f（x，y）=0
D．不在曲線C上的點的坐標(biāo)有的適合方程f（x，y）=0，有的不適合方程f（x，y）=0
3．等腰△ABC中，若底邊兩端點坐標(biāo)分別是B（4，2），C（－2，0），則頂點A的軌跡方程是（ ）
A．x－3y+2=0（x≠1） B．3x—y—2=0（x≠1）
C．3x+y－4=0（x≠1） D．3x－y+1=0（x≠1）
4．方程(|y|-x

)(x--y2)=0的曲線是圖21中的（ ）
5．曲線x+y-4ax+2ay-20+20a=0(a∈R)恒過定點，則定點的坐標(biāo)為 ________________________________。
220γχ 6．由動點p向 + = 1 引兩條切線PA、PB，切點為A，B, ∠APB=60 則22
p的軌跡方程___________________。
7．已知點A（－a，0），B（a，0）（a∈R），若動點C與點A、B構(gòu)成直角三角形，試求直角頂點C的軌跡方程。
8．求由方程|2x+3|+|y－2|=3確定在多邊形所圍成的圖形的面積S。
3y=x-x，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動t，s單位長度 9．設(shè)曲線C的方程是
后得到曲線C1。
（1）寫出的曲線C1方程；
tsA()
（2）證明曲線關(guān)于點22對稱；
（3）如果曲線C1和C有且僅有一個公共點，證明：
參考答案
1．D （點評：曲線與方程的定義應(yīng)包含兩條：曲線上點的坐標(biāo)都是方程的解，以方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點，因給出了曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解，故以方程的解為坐標(biāo)的點必都在曲線上，于是對照定義知，答案應(yīng)選D）
2．C （點評：本題與上題是曲線與方程的定義中所要求的兩個要求的不同表現(xiàn)，對于本題，設(shè)方程f（x，y）=0所表示的曲線為E，依題意有曲線E為曲線C的一部分，故不在曲線C上的點的必不適合方程f（x，y）=0） s=13t-t4，且t≠0。3．C （點評：設(shè)A（x，y），顯然A不能是BC的中點，故x≠1，而且|AB|=|AC|，從而，化簡得3x+y－4=0，選C，另一思路為：A
的軌跡為線段BC的中垂線，從而由點斜式亦可得出點A的軌跡方程）
21-y≥0，得－1≤y≤1，故排除A與C，另一方面，由曲線方程 4．D （點評：由(x+2)2+y2=(x-4)2+(y-2)2
x=-y2
，得曲線中x≥0，從而曲線應(yīng)在y軸的右側(cè)，于是排除B）
22x+y-20+(-4x+2y+20)a=0，曲線 5．（4，－2）（點評：將曲線方程變形為
恒過定點，說明它與a的取值無關(guān)，從而含a的系數(shù)為0，即－4x+2y+20=0，于是余下的項
x2+y2-20=0，解這個聯(lián)立方程組，即得定點的坐標(biāo)）
6． X^2 + y^2 = 4
222222x+y=a(y≠0)|CA|+|CB|=|AB| 7．（點評：設(shè)C（x，y），則可由，得
到關(guān)于x與y的方程，也可由CA⊥CB，得到它們的斜率的積的關(guān)系，然后將C的坐標(biāo)代
入，得到關(guān)于x與y的方程）
⎛3⎫⎛3⎫5⎪ -，-1⎪ -，⎭為頂 8．9（點評：方程所表示的曲線是以（0，2），（－3，2），⎝2⎭，⎝2
1⨯3⨯6=9點的菱形，其兩條對角線分別為3和6，從而面積為2）
9．（1）y=(x-t)-(x-t)+s。（2）點評：在曲線C上任取一點B1(x1，y1)，它關(guān)3
tx1+x2sy1+y==B(x，y)2222，從而x1=t-x2，222于點A的對稱點為，于是有，
y1=s-y2，將它們代入曲線C的方程得y2=(x2-t)3-(x2-t)+s，故B2(x2，y2)在
曲線C1上，同樣可以證明，在曲線C1上的點關(guān)于A的對稱點在曲線C上，因此，曲線C
與C1關(guān)于點

點A對稱。（3）點評：因為曲線C1與C有且僅有一個公共點，故方程組
3⎧⎪y=x-x⎨3⎪⎩y=(x-t)-(x-t)+s有且僅有一組解，兩式消去y并整理得：
3tx2-3t2x+(t3-t-s)=0。該方程有關(guān)于x的一元二次方程（t≠0）有且僅有一個解，
43從而必有t≠0，且∆=9t-12t(t-t-s)=0，化簡即得所證結(jié)論。
二、圓與方程
1.圓(x-2)+(y+3)=9的圓心坐標(biāo)和半徑分別是( ) 22
A.(2,-3)、3 B.(2,-3)、 C.(-2,3)、3 D.(-2,3)、
2.點P(m,5)與圓x2+y2=25的位置關(guān)系是( )
A.在圓外 B.在圓上 C.在圓內(nèi) D.在圓上或圓外
3.已知圓C與圓(x-1)2+y2=1關(guān)于直線y=-x對稱,則圓C的方程是( )
A.(x-1)2+y2=1 B.x2+y2=1 C.x2+(y+1)2=1
D.x2+(y-1)2=1
4.點(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,則a的取值范圍是( )
A.-1＜a＜1 B.0＜a＜1 C.a＞1或a＞-1 D.a=±1
5.(2006重慶高考)以點(2,－1)為圓心且與直線3x-4y+5=0相切的圓的方程為( )A.(x-2)2+(y+1)2=3 B.(x+2)2+(y-1)2=3
C.(x-2)2+(y+1)2=9 D.(x+2)2+(y-1)2=3
1、 答案：A
2、 分析：把點P(m,5)代入x2+y2=25,得m2≥0,所以在圓上或圓外。答案：D
3、 分析：圓C與圓(x-1)2+y2=1關(guān)于直線y=-x對稱,其半徑不變,只求出圓心即可,而關(guān)于直
線y=-x對稱,則橫、縱坐標(biāo)交換位置,并取相反數(shù),由圓(x-1)2+y2=1的圓心為(1,0),知對稱的圓心為(0,-1). 答案：C
4、 分析：由于點(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,所以(1-a)2+(1+a)2＜4,a2＜1.所以-1＜a＜1.
答案：A
5、 分析：r=|3⨯2-4⨯(-1)+5|
+422=3.
答案：C
1.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,則a的取值范圍是( )
22 B.-＜a＜0 33
2C.-2＜a＜0 D.-2＜a＜ 3A.a＜-2或a＞
2.過原點且在x,y軸上的截距分別為p,q(p,q均不為0)的圓的方程是( )
A.x2+y2-px-qy=0 B.x2+y2+px-qy=0
C.x2+y2-px+qy=0 D.x2+y2+px+qy=0
3.已知圓C的方程為f(x,y)=0,點A(x0,y0)是圓外的一點,那么方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的曲線是( )
A.與圓C重合的圓 B.過點A(x0,y0)與圓C相交的圓
C.過點A(x0,y0)與圓C同心的圓 D.可能不是圓
1、分析：由二元二次方程表示圓的條件,有D2+E2-4F=a2+(2a)2-4(2a2+a-1)＞0.
解之,可得-2＜a＜
答案：D
2、分析：由題意知圓過原點,且在x,y軸上的截距分別為p、q,則圓的圓心坐標(biāo)為(2. 3pq,)且22常數(shù)項為0.
答案：A
3、分析：設(shè)f(x,y)=x2+y2+Dx+Ey+F=0,則f(x0,y0)=x02+y02+Dx0+Ey0+F＞0,從而f(x,y)-f(x0,y0)=x2+
y2+Dx+Ey+F-x02-y02-Dx0-Ey0-F=0,過點A(x0,y0)與圓C同心.
答案：C
1.(2006北京高考)平面α的斜線AB交α于點B,過定點A的動直線l與AB垂直,且交α于點C,則動點C的軌跡是( )
A.一條直線 B.一個圓 C.一個橢圓 D.雙曲線的一支
2.(2006江蘇高考)圓(x-1)2+(y+)2=1的切線方程中有一個是( )
A.x-y=0 B.x+y=0 C.x=0 D.y=0
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3.(2006江西高考)已知圓M：(x＋cosθ)2＋(y－sinθ)2=1,直線l：y=kx,下面四個命題：
A.對任意實數(shù)k與θ,直線l和圓M相切；
B.對任意實數(shù)k與θ,直線l和圓M有公共點；
C.對任意實數(shù)θ,必存在實數(shù)k,使得直線l與圓M相切;
D.對任意實數(shù)k,必存在實數(shù)θ,使得直線l與圓M相切.
其中真命題的代號是________

___.(寫出所有真命題的代號)
4.(2006上海高考)已知圓x2-4x-4+y2=0的圓心是點P,則點P到直線x-y-1=0的距離是___________.
5.(2006湖南高考)若圓x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三個不同點到直線l:ax+by=0的距離為2,則直線l的傾斜角的取值范圍是( )
A.［πππ5πππ,］ B.［,］ C.［,］ D.［0,124121263
π］ 2
1、答案：A
分析：圓心為(1,-),半徑為1,故此圓必與y軸(x=0)相切.
2、答案：C
點評：本題主要考查圓的定義及直線與圓的位置關(guān)系.
3、分析：圓心坐標(biāo)為(－cosθ,sinθ),d=
答案：BD
4、答案：|-kcosθ-sinθ|+k2=+k2sin(θ+ϕ)+k2=|sin(θ+φ)|≤1. 2 2
5、答案：B
1.設(shè)m＞0,則直線2(x+y)+1+m=0與圓x2+y2=m的位置關(guān)系為( )
A.相切 B.相交 C.相切或相離 D.相交或相切
2.圓x2＋y2－4x+4y+6=0截直線x－y－5=0所得的弦長等于( ) A. B.52 C.1 D.5 2
3.(2004全國高考Ⅲ,4)圓x2+y2－4x=0在點P(1,3)處的切線方程為( ) A.x+y－2=0 B.x+3y－4=0
C.x－y+4=0 D.x－3y+2=0
答案：
1、分析：圓心到直線的距離為d=1+m,圓半徑為m. 2
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2m2(m－2m+1)=2(m－1)≥0,
∴直線與圓的位置關(guān)系是相切或相離.
答案：C
2、分析：圓心到直線的距離為2
2,半徑為2,弦長為2(2)2-(22
2)=.
答案：A
3、解法一：⎧⎪22
⎨x+y-4x=0,
⎪y=kx-k+3..解得x2-4x+(kx-k+)2=0.
⎩
該二次方程應(yīng)有兩相等實根,即Δ=0,解得k=3
3.
∴y－3=3(x－1),即x－3y+2=0.
解法二：∵點(1,3)在圓x2+y2－4x=0上,
∴點P為切點,從而圓心與P的連線應(yīng)與切線垂直.
又∵圓心為(2,0),∴0-3
2-1?k=－1.
解得k=3,∴切線方程為x－3y+2=0.
答案：D
**圓與圓的位置關(guān)系
例1、已知圓C1：x2+y2+2x+8y-8=0,圓C2：x2+y2-4x-4y-2=0,判斷兩圓的位置關(guān)系. 例2、求過點A(0,6)且與圓C:x2+y2+10x+10y=0切于原點的圓的方程.
圖1
解: 例1、
方法一:圓C⎧⎪x2+y2+2x+8y-8=0,(1)
1與圓C2的方程聯(lián)立得到方程組⎨⎪⎩x2+y2-4x-4y-2=0.(2)
①-②得x+2y-1=0, ③

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,把上式代入①并整理得x-2x-3=0. ④ 2
方程④的判別式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16＞0,所以方程④有兩個不等的實數(shù)根,即圓C1與圓C2相交.
方法二:把圓C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圓C2:x2+y2-4x-4y-2=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x+1)2+(y+4)2=25與(x-2)2+(y-2)2=10.
圓C1的圓心是點(-1,-4),半徑長r1=5;
圓C2的圓心是點(2,2),半徑長r2=.
22圓C1與圓C2的連心線的長為-1-2)+(-4-2)=35,圓C1與圓C2的半徑長之和為
r1+r2=5+,
半徑長之差為r1-r2=5-.
而5-＜35＜5+,即r1-r2＜3＜r1+r2,
所以圓C1與圓C2相交,它們有兩個公共點A、B.
例2、將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x+5)2+(y+5)2=50,
則圓心為C(-5,-5),半徑為52.所以經(jīng)過此圓心和原點的直線方程為x-y=0.
設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.
由題意,知O(0,0),A(0,6)在此圓上,且圓心M(a,b)在直線x-y=0上,則有
⎧(0-a)2+(0-b)2=r2,⎧a=3,⎪⎪222解得(0-a)+(6-b)=r,⎨b=3, ⎨⎪⎪a-b=0,⎩r=32.⎩

于是所求圓的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.
**應(yīng)用
1.過點P(6,－2)且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線的方程是…( )
A.2x+3y-6=0 B.2x+3y-6=0或3x+4y-12=0
C.x-y+3=0 D.x+2y-2=0或2x+3y-6=0
2.把直線y=x繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn),使它與圓x2+y2+2x-2y+3=0相切,則直線旋轉(zhuǎn)3
的最小正角是( ) A.ππ2π5π B. C. D. 3632
3.設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為A(-2,0)、B(2,0),條件甲：A、B、C三點構(gòu)成以C為直角頂點的三角形；條件乙：點C的坐標(biāo)是方程x2+y2=2的解.則甲是乙的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
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C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
4.已知點M(a,b)(ab≠0)是圓x2+y2=r2內(nèi)一點,直線g是以M為中點的弦所在的直線,直線l的方程為ax+by+r2=0,則( )
A.l∥g,且與圓相離 B.l⊥g,且與圓相切
C.l∥g,且與圓相交 D.l⊥g,且與圓相離
答案：DBAA