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直線是最簡單的幾何圖形，是解析幾何最基礎(chǔ)的部分，本章的基本概念；基本公式；直線方程的各種形式以及兩直線平行、垂直、重合的判定都是解析幾何重要的基礎(chǔ)內(nèi)容。應(yīng)達到熟練掌握、靈活運用的程度，線性規(guī)劃是直線方程一個方面的應(yīng)用，屬教材新增內(nèi)容，中單純的直線方程問題不難，但將直線方程與其他綜合的問題是比較棘手的。

　　難點磁場

　　已知a＜1，b＜1，c＜1，求證：abc+2＞a+b+c.

　　案例探究

　　［例1］某校一年級為配合素質(zhì)，利用一間教室作為學(xué)生繪畫成果展覽室，為節(jié)約經(jīng)費，他們利用課桌作為展臺，將裝畫的鏡框放置桌上，斜靠展出，已知鏡框?qū)ψ烂娴膬A斜角為α（90°≤α＜180°）鏡框中，畫的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距a m，b m，（a＞b）。問學(xué)生距離鏡框下緣多遠看畫的效果最佳？

　　命題意圖：本題是一個非常實際的問題，它不僅考查了直線的有關(guān)概念以及對三角知識的綜合運用，而且更重要的是考查了把實際問題轉(zhuǎn)化為問題的。

　　知識依托：三角函數(shù)的定義，兩點連線的斜率公式，不等式法求最值。

　　錯解分析：解決本題有幾處至關(guān)重要，一是建立恰當?shù)淖鴺讼�，使問題轉(zhuǎn)化成解析幾何問題求解；二是把問題進一步轉(zhuǎn)化成求tanACB的最大值。如果坐標系選擇不當，或選擇求sinACB的最大值。都將使問題變得復(fù)雜起來。

　　技巧與：欲使看畫的效果最佳，應(yīng)使∠ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一個三角函數(shù)值。

　　解：建立如圖所示的直角坐標系，AO為鏡框邊，AB為畫的寬度，O為下邊緣上的一點，在x軸的正半軸上找一點C（x，0）（x＞0），欲使看畫的效果最佳，應(yīng)使∠ACB取得最大值。

　　由三角函數(shù)的定義知：A、B兩點坐標分別為（acosα，asinα）、（bcosα，bsinα），于是直線AC、BC的斜率分別為：

　　kAC=tanxCA=

于是tanACB=

由于∠ACB為銳角，且x＞0，則tanACB≤，當且僅當=x，即x=時，等號成立，此時∠ACB取最大值，對應(yīng)的點為C（，0），因此，學(xué)生距離鏡框下緣cm處時，視角最大，即看畫效果最佳。

　　［例2］預(yù)算用2000元購買單件為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的總數(shù)盡可能的多，但椅子不少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的1.5倍，問桌、椅各買多少才行？

　　命題意圖：利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應(yīng)用，本題主要考查找出約束條件與目標函數(shù)、準確地描畫可行域，再利用圖形直觀求得滿足題設(shè)的最優(yōu)解。

　　知識依托：約束條件，目標函數(shù)，可行域，最優(yōu)解。

　　錯解分析：解題中應(yīng)當注意到問題中的桌、椅張數(shù)應(yīng)是自然數(shù)這個隱含條件，若從圖形直觀上得出的最優(yōu)解不滿足題設(shè)時，應(yīng)作出相應(yīng)地調(diào)整，直至滿足題設(shè)。

　　技巧與方法：先設(shè)出桌、椅的變數(shù)后，目標函數(shù)即為這兩個變數(shù)之和，再由此在可行域內(nèi)求出最優(yōu)解。

　　解：設(shè)桌椅分別買x，y張，把所給的條件表示成不等式組，即約束條件

　　為由

　　∴A點的坐標為（，）

　　由

　　∴B點的坐標為（25，）

　　所以滿足約束條件的可行域是以A（，），B（25，），O（0，0）為頂點的三角形區(qū)域（如下圖）

　　由圖形直觀可知，目標函數(shù)z=x+y在可行域內(nèi)的最優(yōu)解為（25，），但注意到x∈N，y∈N*，故取y=37.

　　故有買桌子25張，椅子37張是最好選擇。

　�。劾�3］拋物線有光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線折射后,高中數(shù)學(xué)，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線y2=2px（p＞0）。一光源在點M（，4）處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點P，折射后又射向拋物線上的點 Q，再折射后，又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l：2x－4y－17=0上的點N，再折射后又射回點M（如下圖所示）

　�。�1）設(shè)P、Q兩點坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2），證明：y1.y2=－p2；

　　（2）求拋物線的方程；

　�。�3）試判斷在拋物線上是否存在一點，使該點與點M關(guān)于PN所在的直線對稱？若存在，請求出此點的坐標；若不存在，請說明理由。

　　命題意圖：對稱問題是直線方程的又一個重要應(yīng)用。本題是一道與中的光學(xué)知識相結(jié)合的綜合性題目，考查了學(xué)生理解問題、分析問題、解決問題的能力。

　　知識依托：韋達定理，點關(guān)于直線對稱，直線關(guān)于直線對稱，直線的點斜式方程，兩點式方程。

　　錯解分析：在證明第（1）問題，注意討論直線PQ的斜率不存在時。

　　技巧與方法：點關(guān)于直線對稱是解決第（2）、第（3）問的關(guān)鍵。

　　（1）證明：由拋物線的光學(xué)性質(zhì)及題意知

　　光線PQ必過拋物線的焦點F（，0），

　　設(shè)直線PQ的方程為y=k（x－） ①

　　由①式得x=y+，將其代入拋物線方程y2=2px中，整理，得y2－y－p2=0，由韋達定理，y1y2=－p2.

　　當直線PQ的斜率角為90°時，將x=代入拋物線方程，得y=±p，同樣得到y(tǒng)1.y2=

　�。璸2.

　�。�2）解：因為光線QN經(jīng)直線l反射后又射向M點，所以直線MN與直線QN關(guān)于直線l對稱，設(shè)點M（，4）關(guān)于l的對稱點為M′（x′，y′），則

解得

　　直線QN的方程為y=－1，Q點的縱坐標y2=－1，

　　由題設(shè)P點的縱坐標y1=4，且由（1）知：y1.y2=－p2，則4.（－1）=－p2，

　　得p=2，故所求拋物線方程為y2=4x.

　　（3）解：將y=4代入y2=4x，得x=4，故P點坐標為（4，4）

　　將y=－1代入直線l的方程為2x－4y－17=0，得x=，

　　故N點坐標為（，－1）

　　由P、N兩點坐標得直線PN的方程為2x+y－12=0，

　　設(shè)M點關(guān)于直線NP的對稱點M1（x1，y1）

　　又M1（，－1）的坐標是拋物線方程y2=4x的解，故拋物線上存在一點（，－1）與點M關(guān)于直線PN對稱。

　　錦囊妙計

　　1.對直線方程中的基本概念，要重點掌握好直線方程的特征值（主要指斜率、截距）等問題；直線平行和垂直的條件；與距離有關(guān)的問題等。

　　2.對稱問題是直線方程的一個重要應(yīng)用，里面所涉及到的對稱一般都可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點或點關(guān)于直線的對稱。中點坐標公式和兩條直線垂直的條件是解決對稱問題的重要工具。

　　3.線性規(guī)劃是直線方程的又一應(yīng)用。線性規(guī)劃中的可行域，實際上是二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域。求線性目標函數(shù)z=ax+by的最大值或最小值時，設(shè)t=ax+by，則此直線往右（或左）平移時，t值隨之增大（或減�。�，要會在可行域中確定最優(yōu)解。

　　4.由于一次函數(shù)的圖象是一條直線，因此有關(guān)函數(shù)、數(shù)列、不等式、復(fù)數(shù)等代數(shù)問題往往借助直線方程進行，考查學(xué)生的綜合能力及創(chuàng)新能力

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