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一. 教學(xué)內(nèi)容：

數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題、數(shù)列的極限和歸納法

二. 教學(xué)要求：

1. 了解數(shù)列的一般應(yīng)用問(wèn)題，理解“復(fù)制”的概念及相關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題，能建立較典型問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

2. 了解數(shù)列極限的概念，掌握極限的四則運(yùn)算法則，會(huì)求某些數(shù)列的極限。

3. 理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。

三. 串講

1. 零存整取和按揭貸款問(wèn)題（見例題選講）

2. 數(shù)列極限的概念

3. 常用的極限

4. 數(shù)列極限的運(yùn)算法則：

5. 無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的各項(xiàng)和

{an}為等比數(shù)列，q＜1則稱{an}為無(wú)窮遞縮等比數(shù)列。

6. 求數(shù)列極限的常用

①求分子、分母都含有關(guān)于n的代數(shù)式或指數(shù)式的數(shù)列的極限，可將分子分母同除以分母的最高次冪（即無(wú)窮小量分出法），再求極限。

②利用有理化因子變形；

③求和式極限時(shí)，一般先求和，再求極限；

⑤求含有參數(shù)的式子的極限時(shí)，注意對(duì)參數(shù)的值進(jìn)行分類討論，分別確定極限是否存在，若存在求出值。

7. 數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與自然數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明方法。

（1）數(shù)學(xué)歸納法的步驟：（分三步）

①驗(yàn)證n取第一個(gè)值n0時(shí)命題f(n0)正確。（是遞推基礎(chǔ)）；

②假設(shè)n＝k（k∈N，k≥n0）時(shí)命題f(k)正確，證明n＝k＋1時(shí)命題f(k＋1)也正確。（是遞推的依據(jù)）；

③由①、②可知對(duì)任意n≥n0命題f(n)都正確。（結(jié)論）。

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題f(n)時(shí)，難點(diǎn)在第二步。即假設(shè)n＝k，f(k)成立，推出n＝k＋1時(shí)f(k＋1)也成立，在推導(dǎo)中必須用到“歸納假設(shè)”，而此步驟證明的是“結(jié)構(gòu)相同”。

如：用數(shù)學(xué)歸納法證明

∴等式成立。

則n＝k＋1時(shí)

（與k時(shí)的結(jié)構(gòu)相同）

∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立。

解：由遞推公式算出前幾項(xiàng)

再用數(shù)學(xué)歸納法證明：…

【典型例題】

例1. 零存整取和按揭貸款問(wèn)題

（1）利息計(jì)算：

①單利：每期都按初始本金計(jì)算利息，當(dāng)期利息不計(jì)入下期本金。

例如：某人存入銀行1萬(wàn)元現(xiàn)金，年利率5%，三年后一次性取出，本利和為多少？

結(jié)論：按單利計(jì)算，每期的本利和組成等差數(shù)列，按復(fù)利計(jì)算，每期的本利和組成等比數(shù)列。

（2）零存整取儲(chǔ)蓄（單利）本利和計(jì)算模型，若每期存入本金P元，每期利率為r，當(dāng)n期后，本利和為Sn。

P?D貸款 r?D利率 n?D還款期數(shù)

例如：某企業(yè)為籌劃資金A元，以年利率r每年按復(fù)利計(jì)算利息。在當(dāng)年年初借入，前m年這段時(shí)間內(nèi)不還款，從第m＋1年開始每年末按一定的金額a元償還，并在后繼的n年中還清借款的本利和，試求a的表達(dá)式。

解：從借入之日到償還付清須（m＋n）個(gè)年份，故A元的本利和是：

A(1＋r)m n元 ①

而償還金額的本利和是：

例2. 可化成遞推關(guān)系的問(wèn)題。

（1）等差型遞推關(guān)系式：

（2）等比型遞推關(guān)系式：

∴該職工第十二個(gè)月底有余款700元。

例3. 甲、乙兩企業(yè)，2000年的銷售量均為P（設(shè)2000年為第一年），根據(jù)市場(chǎng)分析和

①求甲、乙兩企業(yè)第n年的銷售量的表達(dá)式；

②根據(jù)甲、乙兩企業(yè)所在地的市場(chǎng)規(guī)律，如果某企業(yè)的年銷售量不足另一企業(yè)年銷售量的20%，則該企業(yè)將被另一企業(yè)收購(gòu)。試判斷，哪一個(gè)企業(yè)將被收購(gòu)？這種情形將在哪一年出現(xiàn)？

解：設(shè)甲企業(yè)前n年的總銷量為Sn，第n年的銷量為an，乙企業(yè)第n年的銷量為bn，則依題意可得：

解：

解：

解：

例5. 在一系列球中，第一個(gè)球的半徑為1，第2個(gè)球的直徑等于第一個(gè)球的半徑，第3個(gè)球的直徑等于第二個(gè)球的半徑，依次類推，求所有這些球的表面積之和與體積之和。

解：設(shè)由球的半徑組成的數(shù)列為{rn}

因此由這些球的表面積、體積都組成等比數(shù)列，

例6. 已知a＞0且a≠1，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a，公比也為a的等比數(shù)列，令bn＝anlgan（n∈N）。

①求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；

解：<0" style='width:225.75pt; >

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例7. 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

顯然，左端＞右端；所以n＝1時(shí)，原不等式成立。

②假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N）時(shí)不等式正確，即：

證明：

由①、②可知，對(duì)一切n∈N*，不等式均成立。

考慮：

解：

公式仍成立

【模擬】

（一）選擇題

1. 某種電子產(chǎn)品面市時(shí)單價(jià)為a元/只,高三，由于供不應(yīng)求，連續(xù)提價(jià)三次，每次提高20%，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，市場(chǎng)開始疲軟，廠家又采取了降價(jià)措施，若連續(xù)降價(jià)三次，每次降低17%，最后的價(jià)格為b元/只，則（ ）

A.

C. 元/m2，二層的價(jià)格為 元/m2，第i層（i≥4）的價(jià)格為

B.

D.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

4. 若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是 （ ）

A. C.

5. 數(shù)列 ，則 （ ）

A. 1 B. 0 C. 2 D.

（二）填空題

6. 設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ，且 ，則a1＝_______。

7. 如圖，P1是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P1的左下端剪去一個(gè)半徑為 的半圓后得到圖形P2，然后依次剪去更小的半圓（其直徑為前一被剪掉半圓的半徑）得圖形P3，P4，…，Pn，…。記紙板Pn的面積為Sn，則 ___________。

8. 用數(shù)學(xué)歸納法證明 第一步要證的不等式是_____________。

9. 在數(shù)列{an}中，已知a1＝2，l1：l2： 的交點(diǎn)為P1（x1，y1），且對(duì)于n≥2的自然數(shù)，兩點(diǎn)（0，b），（ ）的連線與直線y＝ x交于點(diǎn) 。

（1）求P1，P2的坐標(biāo)；

（2）猜想Pn的坐標(biāo)公式，并證明。

【試題答案】

1. A

解析：

∴a＞b

2. B

解析：

3. B

解析：各層房的總價(jià)值為

4. C

解析：

即

5. A

解析：∵

∴

7.

解析：

兩邊相加：

8.

10. 解：設(shè)第n年后欠款為an

則第一年后欠款為20000×1.1－4000＝a1

第二年后欠款為

……

第十年后欠款為

即

而 ， ，…，4000分別是第一年后，第二年后，…第十年后各年所還欠款到第十年后的本息，看二者能否抵銷。

11. 解：（1）解方程組

過(guò)（0，b），（ ，0）兩點(diǎn)的直線方程為 。

（2）猜想 ，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①n＝2時(shí)，結(jié)論已被證；

②假設(shè)n＝k（k≥2）時(shí)，

，過(guò)（0，b），（

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