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一. 教學(xué)內(nèi)容：直線與圓的位置關(guān)系（二）

二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：

1. 相交弦定理

2. 割線定理

3. 切割線定理

4. 切線長(zhǎng)定理

【典型例題】

[例1] 如圖，⊙O是直角三角形的直角邊AB為直徑的圓ED與⊙O切于D，求證：

證明：連結(jié)OD、BD ∵ EB、ED都是⊙O的切線 ∴ EB=ED 又EO=EO

∠EBO=∠EDO=90° ∴ △EBO≌△EDO ∴ ∠1=∠2

∵ ∠A=< style= > ∠DOB=∠1，AO=OB ∴ EO CA ∵ OB=OD，∠1=∠2

∴ BD⊥OE ∴ BD⊥CA 又 AB⊥BC ∴ △ABC∽△BDC

∴ 即

[例2] 如圖，AB是半圓的直徑，E是 上任意一點(diǎn)，過(guò)E作半圓的切線CD，分別過(guò)A，B作半圓的切線交CD于C、D兩點(diǎn)，連結(jié)AD，BC交于P點(diǎn)，連結(jié)EP且延長(zhǎng)交AB于F點(diǎn)，求證：EP=FP。

證明：∵ CA、CE是⊙O的切線 ∴ CA=CE 同理DE=DB

∵ CA是切線且AB為直徑 ∴ CA⊥AB 同理DB⊥AB

∴ CA//DB ∴ △CAP∽△BDP ∴

∴ EP//CA ∴ ∴ ∴

[例3] 如圖所示，已知：P為正△ABC外接圓上一點(diǎn)，連結(jié)PB，PC和PA，D是PA和BC的交點(diǎn)。求證：

證明：在△PBD和△CAD中，∵ ∠PBD=∠CAD ∠PDB=∠CDA

∴ △PBD∽△CAD ∴ 同理可證∴ ∴

[例4] 如圖，已知O是△ABC的外心，I是△ABC的內(nèi)心，且∠I ∠BOC=180°，求∠BAC。

解：∵ ∠BOC=2∠A ∠BIC=90° 2∠A=180°

5∠A=180° ∠A=36°

[例5] 如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線CE和⊙O切于點(diǎn)C，AD⊥CE，垂足為D，求證：AC平分∠BAD。

證明：連結(jié)BC ∵ AB是⊙O的直徑 ∴ ∠ACB=90° ∴ ∠B ∠CAB=90°

∵ AD⊥CE ∴ ∠ADC=90° ∴ ∠ACD ∠DAC=90°

∵ AC是弦，且CE和⊙O切于點(diǎn)C ∴ ∠ACD=∠B ∴ ∠DAC=∠CAB

∴ AC平分∠BAD

[例6] 已知：如圖，⊙O和⊙O′都經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，AC是⊙O′的切線交⊙O于點(diǎn)C，AD是⊙O的切線交⊙O′于點(diǎn)D，求證：

證明：∵ ∠C=∠1 ∠2=∠D ∴ △ACB∽△DAB ∴

∴

[例7] 已知：如圖，⊙O的割線PAB交⊙O于點(diǎn)A和B，PA=6cm，AB=解：設(shè)⊙O的半徑為r，PO和它的延長(zhǎng)線交⊙O于C、D

根據(jù)切割線定理的推論，有∵ PB=PA AB=∴ ∴ ⊙O的半徑為8cm

[例8] 已知：如圖所示，在△ABC中，∠A=15°，∠ACB=90°，BC=1，O為AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑的半圓交AB于E、F兩點(diǎn)，且E為AB的中點(diǎn)，D為半圓與AC的另一交點(diǎn)。

（1）求CF的長(zhǎng)；

（2）求BF的長(zhǎng)；

（3）求證：AD是方程解：（1）連結(jié)CE ∵ E是 的斜邊AB的中點(diǎn) ∴ CE=AE

∴ ∠ECA=∠A=15° ∴ ∠FEC=30°

由題意可知，BC垂直于⊙O的半徑OC ∴ BC與⊙O相切于點(diǎn)C

∴ ∠BCF=∠FEC=30° ∵ ∠B=90°－∠A=75°

∴ ∠BFC=180°－（∠B ∠BCF）=180°－（75° 30°）=75°

∴ ∠B=∠BFC ∴ CF=BC=1

（2）連結(jié)OE、OF ∵ OC=OF ∠COF=2∠FEC=60°

∴ △COF是正△ ∴ OC=OF=CF=1

∵ ∠ ECF=90°－（∠BCF ∠ECA）=90°－（30° 15°）=45°

∴ ∠EOF=2∠ECF=2×45°=90°

∴ △EOF是等腰直角三角形 ∴ EF=由切割線定理得∴ 即

解得 ， （舍）

（3）∵ ∴ ∵ AF=AE EF=∴ 根據(jù)切割線定理

即

∴ AD是方程

[例9] 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點(diǎn)分為12cm和16cm兩段第二條弦的長(zhǎng)為32cm，求第二條弦被交點(diǎn)分成的兩段的長(zhǎng)。

解：設(shè)第二條弦被交點(diǎn)分成的一段長(zhǎng)為xcm，則另一段長(zhǎng)為

根據(jù)相交弦定理有

另一段 或另一條弦被交點(diǎn)分成的兩段長(zhǎng)分別為8cm，24cm。

[例10] 如圖所示，⊙O分別切AB、AC于E、F，且交BC于M，N兩點(diǎn)，∠A=90°，∠B=∠C，EB=1，△ABC的面積為S1，⊙O的面積為S2，（1）求證：BM=NC；（2）求BM。

證明：（1）連結(jié)AO交BC于D ∵ AB、AC都是⊙O的切線

∴ ∠DAB=∠OAC ∵ ∠B=∠C ∴ AB=AC ∴ AO是BC的垂直平分線

∴ BD=DC ∵ OD⊥MN ∴ MD=DN ∴ BM=NC

（2）連結(jié)OE、OF，則四邊形AEOF是四邊形，設(shè)AE=x，則AB=x 1

S1= S2­= 或∴ AE=4 AB=5 BC=設(shè)BM=y，由切割線定理得

即 ∴

【模擬

1. 給出下列說(shuō)法：① 和圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；② 和半徑垂直的直線是圓的切線；③ 到圓心的距離等于這個(gè)圓的半徑的直線是圓的切線；④ 圓的切線垂直于半徑。其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 0 高考 B. 1 C. 2 D. 3

2. ⊙O1和⊙O2的半徑分別為8和5，兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則圓心距O1O2的取值范圍是（ ）

A. O1O2­>13 B. O1O2<3

C. 3<O1O2<13 D. O1O2>13或O1O2<3

3. 圓的最大弦長(zhǎng)為m，若直線與圓相交，設(shè)圓心到直線的距離為 ，則（ ）

A. B. D.

5. 如圖所示，兩枚大小相同的硬幣，一枚固定不動(dòng)，另一枚繞其邊緣滾動(dòng)（無(wú)滑動(dòng)），當(dāng)運(yùn)動(dòng)硬幣滾動(dòng)到原來(lái)位置（與第一次重合）時(shí)，運(yùn)動(dòng)硬幣外轉(zhuǎn)了（ ）

A. 1圈 B. 2圈 C. 3圈 D. 4圈

6. 如圖，⊙M與x軸相切于原點(diǎn)，平行于y軸的直線交圓于P、Q兩點(diǎn)，P在Q點(diǎn)的下方，若點(diǎn)P的坐標(biāo)（2，1），則圓心M的坐標(biāo)是（ ）

A.（0，3） B.（0， ） C.（0，2） D.（0， ）

7. 如圖，直線 與⊙O1、⊙O2、⊙O3都相切，且這三圓兩兩相切，⊙O3的半徑為4，⊙O1與⊙O2是兩個(gè)相等圓，則⊙O1的半徑是（ ）

A. 4 B. 8 C. 12 D. 16

8. 如圖，⊙O1與⊙O2，它們的半徑分別為3和1，過(guò)O1作⊙O2的切線，切點(diǎn)為A，則O1A的長(zhǎng)為（ ）

A. 4 B. 2 C.

9. 現(xiàn)在半徑為R的兩圓外切，能與這兩圓都相切且半徑為2R的圓共有（ ）

A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)

10. 如圖，⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)P，直線AB過(guò)點(diǎn)P交⊙O1于A，交⊙O2于B，點(diǎn)C、D分別為⊙O1、⊙O2上的點(diǎn)，且∠ACP=65°，則∠BDP等于（ ）

A. 30° B. 45° C. 55° D. 65°

11. 如圖，三個(gè)半徑為<4" height:107.25pt'>

12. 在△ABC中，∠C=90°，AB=3cm，BC=2cm，以點(diǎn)A為圓心，以2cm 為半徑作圓，則點(diǎn)C和⊙A的位置關(guān)系是（ ）

A. C點(diǎn)在⊙A上 B. C點(diǎn)在⊙A外

C. C點(diǎn)在⊙A內(nèi) D. 不能確定

13. 如圖，在⊙O中，AB、AC是⊙O內(nèi)相垂直的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，且AB=8cm ，AC=6cm ，那么⊙O的半徑OA長(zhǎng)為（ ）

A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm

14. 如圖，⊙O的半徑OA=6，以A為圓心，OA為半徑的弧交⊙O于B、C點(diǎn)，則BC等于（ ）

A. <6" style='width:24pt; > B. C.

15. 下列命題中，正確的是（ ）

A. 三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓

B. 三角形的外心是三角形三邊中線的交點(diǎn)

C. 一個(gè)三角形有且只有一個(gè)外接圓

D. 三角形的外心必在三角形的內(nèi)部

16. 已知⊙O的半徑為r，圓心O到直線 的距離為 ，若直線 與⊙O有交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A. C.

17. 已知兩圓的半徑分別為R1，R2，兩圓的圓心距為 ，如果兩圓既有內(nèi)公切線，又有外公切線，那么這兩圓半徑的和與圓心距之間的關(guān)系應(yīng)是（ ）

A.

C.

18. 如圖，半徑為4的兩等圓外切，它們的一條外公切線與兩圓圍成的陰影部分中，存在的最大圓的半徑等于（ ）

A. B. C. D. 1

19. 如圖，兩個(gè)以O(shè)為圓心的同心圓AB切大圓于B，AC切小圓于C，交大圓于D、E，AB=12，AO=15，AD=8，求兩圓的半徑。

【試題答案

1. C 2. D 3. D 4. C 5. B 6. B 7. D 8. C 9. D 10. D

11. B 12. B 13. B 14. A 15. C 16. B 17. C 18. D

19. 解：連結(jié)OB、OC ∵ AB切大圓于B，AC切小圓于C

∴ OB⊥AB，OC⊥AC ∵ DE是大圓的弦 ∴ DC=CE

在 中，

在大圓中，根據(jù)切割線定理 ∴ 8AE=122 AE=18

∴

∴ 兩圓的半徑分別為9和

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