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高一數(shù)學(xué)寒假作業(yè)四
一.（每小題3分,共計30分）
1.設(shè)全集U=R,集合M= ,P= ,則下列關(guān)系中正確的是
A．M=P B． C． D．
2.函數(shù) 的定義域為
A. B. C. D.
3.下列四個函數(shù)中,在上為增函數(shù)的是
A. B. C. D.
4.下列函數(shù)中,定義域與值域相同的是
A. B. C. D.
5.設(shè) ,在下列各圖中,能表示從集合到集合的映射的是
A B C D
6．長方體的三個相鄰面的面積分別為2,3,6,這個長方體的頂點都在同一個球面上,則這個球面的表面積為（）
A． B．56πC．14πD．64π
7．棱錐被平行于底面的平面所截,當(dāng)截面分別平分棱錐的側(cè)棱.側(cè)面積.體積時,相應(yīng)的截面面積分別為S1.S2.S3,則（）
A．S18．圖8-23中多面體是過正四棱柱的底面正方形ABCD的頂點A作截面AB1C1D1而截得的,且B1B=D1D.已知截面AB1C1D1與底面ABCD成30°的二面角,AB=1,則這個多面體的體積為（）
A． B． C． D．
9．設(shè)地球半徑為R,在北緯30°圈上有甲.乙兩地,它們的經(jīng)度差為120°,那么這兩地間的緯線之長為（）
A． πRB． πRC．πRD．2πR
10．如圖8-24,在一個倒置的正三棱錐容器內(nèi),放入一個鋼球,鋼球恰好與棱錐的四個面都接觸上,經(jīng)過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面,正確的截面圖形是（）
二.題（每小題4分,共計24分）
11.
12.若函數(shù) 是偶函數(shù),則的遞減區(qū)間是
13.若冪函數(shù) 的圖象過點 ,則的值為
14.圓x2+y2-2x-2y+1=0上的動點Q到直線3x+4y+8=0距離的最小值為______.
15.集合A=｛(x,y)｜x2+y2=4｝,B=｛(x,y)｜(x-3)2+(y-4)2=r2｝,其中r＞0,若A∩B中有且僅有一個元素,則r的值是______________.?
16.α.β是兩個不同的平面,m.n是平面α及β之外的兩條不同直線,給出四個論斷:①m⊥n,②α⊥β,③n⊥β,④m⊥α.以其中三個論斷作為條件,余下一個作為結(jié)論,寫出你認為正確的一個命題:_______________
三.解答題：（共46分,其中17題10分,其他各題12分）解答題應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟．
17.設(shè) , ,求：
（1）；（2） .
18.已知函數(shù)
（1）用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù)；
（2）畫出該函數(shù)的圖象；
（3）寫出該函數(shù)的值域.
19. 如圖8－12,球面上有四個點P.A.B.C,如果PA,PB,PC兩兩互相垂直,且PA=PB=PC=a,求這個球的表面積.
20.如圖7-15,在正三棱柱ABC?A1B1C1中,各棱長都等于a,D.E分別是AC1.BB1的中點,
（1）求證：DE是異面直線AC1與BB1的公垂線段,并求其長度；
（2）求二面角E?AC1?C的大�。�
（3）求點C1到平面AEC的距離.
高一數(shù)學(xué)寒假作業(yè)四參考答案
一、（每小題3分,共計30分）
1-5 CBCDD 6-10 CADAB
二.題（每小題4分,共計24分）
11. 12. 13. 14.2 15.3或7 16. 或
三.解答題：（共46分,其中17題10分,其他各題12分）解答題應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟．
17.解：
（1）又 ,∴ ；
（2）又 ,
得 .
∴
18. （2）略 +7分（3）
19.解如圖8－12,設(shè)過A.B.C三點的球的截面圓半徑為r,圓心為O′,球心到該圓面的距離為d.在三棱錐P?ABC中,
∵PA,PB,PC兩兩互相垂直,且PA=PB=PC=a,
∴AB=BC=CA= a,且P在△ABC內(nèi)的射影即是△ABC的中心O′.
由正弦定理,得 =2r,∴r= a.
又根據(jù)球的截面的性質(zhì),有OO′⊥平面ABC,而PO′⊥平面ABC,
∴P.O.O′共線,球的半徑R= .又PO′= = = a,
∴OO′=R － a=d= ,(R－ a)2=R2 ? ( a)2,解得R= a,
∴S球=4πR2=3πa2.
注本題也可用補形法求解.將P?ABC補成一個正方體,由對稱性可知,正方體內(nèi)接于球,則球的直徑就是正方體的對角線,易得球半徑R= a,下略
20.如圖7-15,在正三棱柱ABC?A1B1C1中,各棱長都等于a,D.E分別是AC1.BB1的中點,
（1）求證：DE是異面直線AC1與BB1的公垂線段,并求其長度；
（2）求二面角E?AC1?C的大��；
（3）求點C1到平面AEC的距離.
解（1）過D在面AC1內(nèi)作FG∥A1C1分別交AA1.CC1于F.G,則面EFG∥面ABC∥面A1B1C1,
∴△EFG為正三角形,D為FG的中點,ED⊥FG.
連AE, ∵D.E分別為的中點,
∴ .又∵面EFG⊥BB1,
∴ED⊥BB1,故DE為AC1和BB1的公垂線,計算得DE= a.
（2）∵AC=CC1,D為AC1的中點,∴CD⊥AC1,又由（1）可知,ED⊥AC1,∴∠CDE為二面角E?AC1?C的平面角,計算得∠CDE=90°.或由（1）可得DE⊥平面AC1,∴平面AEC1⊥平面AC1,∴二面角E?AC1?C為90°.

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