山東省2014屆理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題選編32：雙曲線
一、
1 ．（山東省臨沂市2013屆高三5月高考模擬理科數(shù)學(xué)）雙曲線 與拋物線 相交于A,B兩點(diǎn),公共弦AB恰好過(guò)它們的公共焦點(diǎn)F,則雙曲線C的離心率為（ �。�
A． B． C． D．
【答案】B拋物線的焦點(diǎn)為 ,且 ,所以 .根據(jù)對(duì)稱性可知公共弦 軸,且AB的方程為 ,當(dāng) 時(shí), ,所以 .所以 ,即 ,所以 ,即 ,所以 ,選B．
2 ．（山東省2013屆高三高考模擬卷（一）理科數(shù)學(xué)）若雙曲線 的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于其焦距的 ,則該雙曲線的漸近線方程是（ �。�
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由雙曲線 的對(duì)稱性可取其一個(gè)焦點(diǎn) 和一條漸近線 ,則該點(diǎn)到該漸近線的距離為 ,而 ,因此 , ,所以 ,因此雙曲線的漸近線方程為 .
3 ．（山東省煙臺(tái)市2013屆高三3月診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)理試題）若點(diǎn)P是以 、 為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為 的雙曲線與圓x2+y2 =10的一個(gè)交點(diǎn),則PA+ PB的值為（ �。�
A． B．
C． D．
【答案】D由題意知 ,所以 ,所以雙曲線方程為 .不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,則由題意知 ,所以 ,解得 ,所以 ,所以 ,選D．
4 ．（山東省萊鋼高中2013屆高三4月模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)理試題 ）設(shè) 、 分別為雙曲線 的左、右焦點(diǎn).若在雙曲線右支上存在點(diǎn) ,滿足 ,且 到直線 的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng),則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
5 ．（山東省德州市2013屆高三3月模擬檢測(cè)理科數(shù)學(xué)）雙曲線 與橢圓 有相同的焦點(diǎn),雙曲線C1的離心率是e1,橢圓C2的離心率是e2,則 （ �。�
A． B．1C． D．2
【答案】D雙曲線的 ,橢圓的 ,所以 ,即 ,所以 ,選D．
6 ．（山東省萊蕪市萊蕪二中2013屆高三4月模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線 的右焦點(diǎn)F,以O(shè)F為直徑作圓交雙曲線的漸近線于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)（ �。�
A．B,若 ,則雙 曲線的離心率 為（ ）
A．2B．3C． D．
【答案】C
7 ．（山東省威海市2013屆高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）已知三個(gè)數(shù) 構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,則圓錐曲線 的離心率為（ �。�
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C 因?yàn)槿齻�(gè)數(shù) 構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,所以 ,即 .若 ,則圓錐曲線方程為 ,此時(shí)為橢圓,其中 ,所以 ,離心率為 .若 ,則圓錐曲線方程為 ,此時(shí)為雙曲線,其中 ,所以 ,離心率為 .所以選C．
8 ．（山東省青島即墨市2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題）過(guò)雙曲線 的左焦點(diǎn) 作圓 的切線,切點(diǎn)為E,
延長(zhǎng)FE交拋物線 于點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn),若 ,則雙曲線的離心率為（ �。�
A． B． C． D．
【答案】D
【 解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ,準(zhǔn)線方程為 .圓的半徑為 ,因?yàn)?,所以 是 的中點(diǎn),又 是切點(diǎn),所以 ,連結(jié) ,則 ,且 ,所以 ,則 ,過(guò)P做準(zhǔn)線的垂線 ,則 ,所以 ,在直角三角形 中, ,即 ,所以 ,即 ,整理得 ,即 ,解得 ,所以 ,即 ,所以 ,選D．
9 ．（山東省煙臺(tái)市萊州一中2013屆高三第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)(理)試題）點(diǎn)P在雙曲線 上, 是這條雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn), ,且 的三條邊長(zhǎng)成等差數(shù)列,則此雙曲線的離心率是（ �。�
A．2B．3C．4D．5
【答案】D【解析】因?yàn)?的三條邊長(zhǎng)成等差數(shù)列,所以設(shè) 成等差數(shù)列,且設(shè) ,則 , ,即 , .又 ,所以 ,解得 ,即 ,所以雙曲線的離心率為 ,選D
題
10．（山東省泰安市2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理）以雙曲線 的右焦點(diǎn)為圓心且與雙曲線的漸近線線相切的圓的方程是（ �。�
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為 ,雙曲線的漸近線為 ,不妨取漸近線 ,即 ,所以圓心到直線的距離等于圓的半徑,即 ,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ,選D．
11．（山東省濰坊市2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理（ �。�
A．）已知雙曲線 的一條漸近線的斜率為 ,且右焦點(diǎn)與拋物線 的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的離心率等于（ ）
A． B． C．2D．2
【答案】B
【解析】拋物線的焦點(diǎn)為 ,即 .雙曲線的漸近線方程為 ,由 ,即 ,所以 ,所以 ,即 ,即離心率為 ,選B．
12．（山東省濱州市2013屆高三第一次（3月）模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）圓錐曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 ,若曲線 上存在點(diǎn) 滿足 ∶ ∶ =4∶3∶2,則曲線 的離心率為（ �。�
A． B．
C． D．
【答案】D因?yàn)?∶ ∶ =4∶3∶2,所以設(shè) , .若曲線為橢圓,則有 ,所以橢圓的離心率為 .若曲線為雙曲線,則有 ,所以橢圓的離心率為 .所以選D．
13．（山東省棗莊市2013屆高三3月模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)F1,F2分別是雙曲線 的左、右焦點(diǎn),若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P,使 ,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且 ,則該雙曲線的離心率為（ �。�
A． B． C． D．
【答案】A
由 得 ,即 ,所以 ,所以△PF1F2中,邊F1F2上的中線等于F1F2的一半,可得 , 所以 ,又 ,解得 ,又 ,所以 ,所以雙曲線的離心率為為 ,選（ ）
A．
14．（山東省萊蕪五中2013屆高三4月模擬數(shù)學(xué)（理）試題）已知雙曲線 的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線 的焦點(diǎn)重合,則此雙曲線的離心率為（ �。�
A． B． C． D．
【答案】C
15．（山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2013屆高三第一次診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題）已知雙曲線 的兩條漸近線均與 相切,則該雙曲線離心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ,所以圓心坐標(biāo)為 ,半徑 ,雙曲線的漸近線為 ,不妨取 ,即 ,因?yàn)闈u近線與圓相切,所以圓心到直線的距離 ,即 ,所以 , ,即 ,所以 ,選（ �。�
A．
16．（山東省德州市2013屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知雙曲線 (a>0,b>0)的離心率為2,該雙曲線與拋物線y2= 16x的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn),若AB=6 ,則雙曲線的方程為（ �。�
A． B． C． y2 =1D．
【答案】A
17．（山東省德州市2013屆高三上學(xué)期期末校際聯(lián)考數(shù)學(xué)（理））雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,漸近線分別為 ,點(diǎn)P在第一象限內(nèi)且在 上,若 ⊥PF1, //PF2,則雙曲線的離心率是（ �。�
A． B．2C． D．
【答案】B
【解析】雙曲線的左焦點(diǎn) ,右焦點(diǎn) ,漸近線 , ,因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限內(nèi)且在 上,所以設(shè) ,因?yàn)?⊥PF1, //PF2,所以 ,即 ,即 ,又 ,代入得 ,解得 ,即 .所以 , 的斜率為 ,因?yàn)?⊥PF1,所以 ,即 ,所以 ,所以 ,解得 ,所以雙曲線的離心率 ,所以選B．
18．（山東省濰坊市2013屆高三第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）已知雙曲線 的實(shí)軸長(zhǎng)為2,焦距為4,則該雙曲線的漸近線方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C由題意知 ,所以 ,所以 .又雙曲線的漸近線方程是 ,即 ,選C．
19．（山東省濟(jì)寧市2013屆高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué) ）過(guò)雙曲線 (a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F(-c,0)作圓 的切線,切點(diǎn)為E,延長(zhǎng)FE交拋物線 于點(diǎn)P,O為原點(diǎn),若 ,則雙曲線的離心率為（ �。�
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)?,所以 是 的中點(diǎn).設(shè)右焦點(diǎn)為 ,則 也是拋物線的焦點(diǎn).連接 ,則 ,且 ,所以 ,設(shè) ,則 ,則 過(guò)點(diǎn)F作 軸的垂線,點(diǎn)P到該垂線的距離為 ,由勾股定理得 ,即 ,解得 ,選（ �。�
A．
20．（山東省棗莊市2013屆高三4月（二模）模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題） 為雙曲線 的左右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn) 作此雙曲線一條漸近線的垂線,垂足為 ,滿足 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
21．（山東省文登市2013屆高三3月二輪模擬考試數(shù)學(xué)（理））方程 表示雙曲線,則 的取值范圍是（ �。�
A． B． 或 或
C． 或 D． 或
【答案】D
22．（山東威海市2013年5月高三模擬考試數(shù)學(xué)（理科））已知雙曲線 ( )的左、右焦點(diǎn)為 ,設(shè) 是雙曲線右支上一點(diǎn), ,且 ,則雙曲線的離心率 （ �。�
A． B． C． D．
【答案】（ ）
A．
23．（山東省濟(jì)南市2013屆高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）已知橢圓方程 ,雙曲線 的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn), 頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn),則雙曲線的離心率為（ �。�
A． B． C．2D．3
【答案】C
【 解析】橢圓的焦點(diǎn)為 ,頂點(diǎn)為 ,即雙曲線中 ,所以雙曲線的離心率為 ,選C．
24．（山東省菏澤市2013屆高三5月份模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知三個(gè)數(shù)2,,8構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,則圓錐曲線 的離心率為（ �。�
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
25．（2011年高考（山東理））已知雙曲線 的兩條漸近線均和圓 相切,且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓 的圓心,則該雙曲線的方程為（ �。�
A． B． C． D．
【答案】解析:圓 , 而 ,則 ,答案應(yīng)選（ �。�
A．
26．（山東省菏澤市2013屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn),左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P,△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形,若PF1=10,橢圓與雙曲線的離心率分別為 , ,則 +1的取值范圍是（ �。�
A．(1, )B．( , )C．( , )D．( ,+ )
【答案】B
27．（2012年山東理）(10)已知橢圓C: 的離心率為 ,雙曲線x²-y²=1的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn),以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,則橢圓c的方程為
【答案】雙曲 線x²-y²=1的漸近線方程為 ,代入 可得 ,則 ,又由 可得 ,則 ,
于是 .橢圓方程為 ,答案應(yīng)選D．
28．（山東省泰安市2013屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）斜率為 的直線與雙曲 線 恒有兩個(gè)公共點(diǎn),則雙曲線離心率的取值范圍是（ �。�
A． B． C． D．
【答案】B
二、題
29．（山東省煙臺(tái)市萊州一中2013屆高三第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)(理)試題）以拋物線 的焦點(diǎn)為圓心,且與雙曲線 的兩條漸近線都相切的圓的方程為_(kāi)________.
【答案】 【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ,所以圓心坐標(biāo)為 .雙曲線的漸近線為 ,即 ,不妨取直線 ,則圓心到直線的距離 ,即圓的半徑 ,所以圓的方程為 .
30．（山東省濰坊市2013屆高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）已知雙曲線 的一條漸近線與直線 垂直,則 雙曲線的離心率等于______________.
【答案】 雙曲線的漸近線為 .直線 的斜率為 .因?yàn)?與直線 垂直,所以 ,即 .所以 ,即 .
31．（山東省濟(jì)南市2012屆高三3月高考模擬題理科數(shù)學(xué)（2012濟(jì)南二模））過(guò)雙曲線 =1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F,作圓 的切線,切點(diǎn)為E,延長(zhǎng)FE交雙曲線右支于點(diǎn)P,若E為PF的中點(diǎn),則雙曲線的離心率為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為 ,連接P,因?yàn)镋為PF的中點(diǎn),所以O(shè)E為三角形FP的中位線,所以P=2OE= ,所以PF=3 ,EF= ,又FE為切線,所以有 ,所以 .
32．（山東省萊蕪市第一中學(xué)2013屆高三12月階段性測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題）已知F1、F2分別是雙曲線 的左 、右焦點(diǎn),P為雙曲線上的一點(diǎn),若 ,且 的三邊長(zhǎng)成等差數(shù)列,則雙曲線的離心率是________.
【答案】【解析】設(shè) , ,則 ,又 為等差數(shù)列,所以 ,整理得 ,代入 整理得, ,解得 ,所以雙曲線的離心率為 .
33．（山東省淄博市2013屆高三復(fù)習(xí)階段性檢測(cè)（二模）數(shù)學(xué)（理）試題）若雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,線段F1F2被拋物線 的焦點(diǎn)分成5:3兩段,則此雙曲線的離心率為_(kāi)_____.
【答案】 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ,由題意知 , ,所以 ,即 ,所以 ,所以 .
34．（山東省濟(jì)南市2013屆高三4月鞏固性訓(xùn)練數(shù)學(xué)（理）試題）如圖,F1,F2是雙曲線C: (a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)F1的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn).若 AB : BF2 : AF2 =3 : 4 : 5,則雙曲線的離心率為_(kāi)___________.
【答案】
35．（山東省泰安市2013屆高三第一輪復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)雙曲線 的離心率為2,且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線 的焦點(diǎn)相同,則此雙曲線的方程為_(kāi)_____.
【答案】
拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ,所以雙曲線的焦點(diǎn)在 軸上且 ,所以雙曲線的方程為 ,即 ,所以 ,又 ,解得 ,所以 ,即 ,所以雙曲線的方程為 .
36．（山東省臨沂市2013屆高三第三次模擬考試 理科數(shù)學(xué)）過(guò)雙曲線 的一個(gè)焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線,若垂足恰在線段OF(O 為原點(diǎn))的垂直平分線上,則雙曲線的離心率為_(kāi)__________.
【答案】
三、解答題
37．（2010年高考（山東理））如圖,已知橢圓 的離心率為 ,以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn) 為頂點(diǎn)的三角形 的周長(zhǎng)為 .一等軸雙曲線的頂 點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè) 為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線 和 與橢圓的交點(diǎn)分別為 和 .
(Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線 、 的斜率分別為 、 ,證明 ;
(Ⅲ)是否存在常數(shù) ,使得 恒成立 ?若存在,求 的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】【解析】(Ⅰ)由題意知,橢圓離心率為 ,得 ,又 ,所以可解得 , ,所以 ,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ;所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ,0),因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線,且頂 點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
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