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湖北省黃岡市黃岡中學(xué)2013屆高三五月第二次模擬考試
數(shù)學(xué)（文）試卷
1．如果復(fù)數(shù) (其中 )的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則 ＝( )
A．2 B． C． D． 1
2．已知命題 ： ， ．則 是( )
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．“ ”是“直線 垂直”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4. 樣本中共有5個(gè)個(gè)體，其中四個(gè)值分別為0，1，2，3，第五個(gè)值丟失，但該樣本的平均
值為1，則樣本方差為（　　 ）
　 A． 　　 B． 　 C． 　　 D．2
5．若函數(shù) 的圖象如右圖1，其中 為常數(shù)．則函數(shù)
的大致圖象是（ ）
A． B． C． D．
6．已知 若 ，則 （ ）
A． B． C． D．
7．在平行四邊形 中， 點(diǎn) 在 邊上， 則 （ ）
A． B． 1 C． D．
8．設(shè) , ，若 ， ，則 的最大值為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知函數(shù) 是偶函數(shù)，且 ，當(dāng) 時(shí)， ，
則方程 在區(qū)間 上的解的個(gè)數(shù)是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．已知 分別是橢圓 的左、右焦點(diǎn)， 是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓 與 的延長(zhǎng)線、 的延長(zhǎng)線以及線段 相切，若 為一個(gè)切點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D． 與2的大小關(guān)系不確定．
11．一個(gè)學(xué)校高三年級(jí)共有學(xué)生600人，其中男生有360人，女生有240人，為了調(diào)查高三學(xué)生的復(fù)習(xí)狀況，用分層抽樣的方法從全體高三學(xué)生中抽取一個(gè)容量為50的樣本，應(yīng)抽取女生 人．
12．在面積為1的正方形 內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn) ，則 的面積大于 的概率是_________．
13．已知集合 ， ,且 ,則 _________．
14．執(zhí)行如右下圖所示的程序框圖，若輸入 ，則輸出 的值為 ．
15．已知某幾何體的三視圖如下，則該幾何體體積為 ．
正視圖 側(cè)視圖
俯視圖
（第15題圖） （第14題圖）
16．設(shè) ，其中 滿足約束條件 ，若 的最小值 ，則
（Ⅰ）k的值為 ；（Ⅱ） 的最大值為 ．
17．在一次珠寶展覽會(huì)上,某商家展出一套珠寶首飾,第一件首飾是1顆珠寶, 第二件首飾是由6顆珠寶構(gòu)成如圖1所示的正六邊形, 第三件首飾是由15顆珠寶構(gòu)成如圖2所示的正六邊形, 第四件首飾是由28顆珠寶構(gòu)成如圖3所示的正六邊形, 第五件首飾是由45顆珠寶構(gòu)成如圖4所示的正六邊形, 以后每件首飾都在前一件上,按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶,使它構(gòu)成更大的正六邊形,依此推斷第6件首飾上應(yīng)有__________顆珠寶；則第 件首飾所用珠寶總數(shù)為________________顆.(結(jié)果用 表示)
18．（本題滿分12分）
在等差數(shù)列 中， ，其前 項(xiàng)和為 ，等比數(shù)列 的各項(xiàng)均為正數(shù)， ，公比為 ，且 ．
（Ⅰ）求 與 ；
（Ⅱ）數(shù)列 滿足 ，求 的前 項(xiàng)和 ．
19．（本題滿分12分）
在如圖所示的組合體中，三棱柱 的側(cè)面 是圓柱的軸截面， 是圓柱底面圓周上不與 、 重合的一個(gè)點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：無(wú)論點(diǎn) 如何運(yùn)動(dòng)，平面 平面 ；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn) 是弧 的中點(diǎn)時(shí)，求四棱錐 與圓柱的體積比．
20．（本題滿分13分）
如圖，某市準(zhǔn)備在道路EF的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)比賽道，賽道的前一部分為曲線段FBC．該曲線段是函數(shù) 時(shí)的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為 ,賽道的中間部分為長(zhǎng) 千米的直線跑道CD，且 // ；賽道的后一部分是以O(shè)為圓心的一段圓弧 ．
(Ⅰ)求 的值和 的大��；
(Ⅱ)若要在圓弧賽道所對(duì)應(yīng)的扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個(gè)
“矩形草坪”，矩形的一邊在道路EF上，一個(gè)頂點(diǎn)在
半徑OD上，另外一個(gè)頂點(diǎn)P在圓弧 上，求“矩形
草坪”面積的最大值，并求此時(shí) 點(diǎn)的位置.
21．（本題滿分14分）
已知函數(shù) 的圖象為曲線 , 函數(shù) 的圖象為直線 ．
(Ⅰ) 當(dāng) 時(shí), 求 的最大值；
(Ⅱ) 設(shè)直線 與曲線 的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 且 , 求證： ．
22．（本題滿分14分）
拋物線 : 上一點(diǎn) 到拋物線 的焦點(diǎn)的距離為3， 為拋物線的四個(gè)不同的點(diǎn)，其中 、 關(guān)于y軸對(duì)稱， ， ， ，
，直線 平行于拋物線 的以 為切點(diǎn)的切線．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）證明： ；
（Ⅲ） 到直線 、 的距離分別為 、 ，且 ， 的面積為48，求直線 的方程．
選擇：BAADD CCBCB
11．20 12． 13．7 14．23 15．
16．1 ，7 17．66,
1．【解析】 ，故選B．
2．【解析】特稱命題的否定是全稱命題，故選A．
3．【解析】若直線 垂直，則 ，即 ，選A.
4. 【解析】有題意可得第五個(gè)值為 ，方差為 .選D.
5．【解析】由圖1知 故選D．
6．【解析】
選C．
7．【解析】法一： .
法二：以 為原點(diǎn)， 所在的邊分別為 建立平面直角坐標(biāo)系，則 故選C．
8．【解析】由題意得： ，
故選B．
9．【解析】由題意可得 ， 函數(shù)的周期是4， 可將問題轉(zhuǎn)化為 與 在區(qū)間 有幾個(gè)交點(diǎn)． 畫圖知，有10個(gè)交點(diǎn),選C．
10．【解析】設(shè)圓C與直線 的延長(zhǎng)線、 分別相切于點(diǎn) 則由切線的性質(zhì)可知： 故選B．
11．【解析】 ．新課 標(biāo)第 一 網(wǎng)
12．【解析】由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，以 為底邊，要使 的面積大于 ,則為 點(diǎn)到 的距離 ，∴概率為
13．【解析】 ，
14．【解析】 ，∴ ， ， ，∴ ， ， ，∴輸出y，∴ ．
15．【解析】該幾何體是一個(gè)圓柱與一個(gè)長(zhǎng)方體的組成，其中重疊了一部分 ，所以該幾何體的體積為 ．
16．【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，由題意可知直線 過(guò)點(diǎn)
當(dāng)直線 過(guò)點(diǎn) 時(shí)， 有最大值
17．【解析】設(shè)珠寶數(shù)構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列{an}，則有a1＝1，a2＝a1＋5＝6，a3＝a2＋5＋4＝15，a4＝a3＋5＋2×4＝28，a5＝a4＋5＋3×4＝45，a6＝a5＋5＋4×4＝66，…，
an＝an－1＋5＋4(n－2)，所以an＝a1＋5(n－1)＋4[1＋2＋3＋…＋(n－2)]＝2n2－n.
18．【解答】（Ⅰ）設(shè) 的公差為 ，
因?yàn)?所以 解得 （舍）或 ， ．
故 ， ．
（Ⅱ） ，
．
19．【解答】（Ⅰ）∵側(cè)面 是圓柱的的軸截面， 是圓柱底面圓周上不與 、 重合的一個(gè)點(diǎn)，∴ ，
又圓柱母線 ^平面 ， Ì平面 ，∴ ^ ，
又 ，∴ ^平面 ，
∵ Ì平面 ，∴平面 平面 ；
（Ⅱ）設(shè)圓柱的底面半徑為 ，母線長(zhǎng)度為 ，
當(dāng)點(diǎn) 是弧 的中點(diǎn)時(shí)，
,
， ∴ ．
20．【解答】（Ⅰ）由條件，得 ， ． ∵ ，∴ ．
∴ 曲線段FBC的解析式為 ．
當(dāng)x=0時(shí)， ．又CD= ，∴ ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ．當(dāng)“矩形草坪”的面積最大時(shí)，
點(diǎn)P 在弧DE上，故 ．
設(shè) ， ，“矩形草坪”的面積為
= ．
∵ ，故 取得最大值 ．
21．【解答】(Ⅰ)
單調(diào)遞增， 單調(diào)遞減，
(Ⅱ)不妨設(shè) ，要證 ,
只需證 （?）
， ，
，
將（?）兩邊同乘以 得，
，
只需證 ，即證 ，
令 ， ，
只需證 ， ，
令 ， ，
在 單調(diào)遞增．
，即 ， 在 單調(diào)遞增．
，即 ，
．
22．【解答】（Ⅰ） QF=3=2+ ， =2．
（Ⅱ） 拋物線方程為 ，
A( )， D( )， B( ) ，C( )，
， ，
，， ，
，
所以直線AC和直線AB的傾斜角互補(bǔ)， ．
（Ⅲ）設(shè) ，
則m=n=ADsin ， ，
即 ，
把 與拋物線方程 聯(lián)立得： ，


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