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《萬有引力與航天》
(時間:90分鐘 滿分：100分)
一 、
1．近年來，人類發(fā)射的多枚火星探測器已經(jīng)相繼在火星上著陸，正在進行著激動人心的科學探究，為我們將來登上火星、開發(fā)和利用火星資源奠定了堅實的基礎(chǔ)．如果火星探測器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運動，并測得該運動的周期為T，則火星的平均密度ρ的表達式為(k為某個常數(shù))(　　)
A．ρ＝kT　　　　　　 B．ρ＝kT
C．ρ＝kT2　　　　　　 D．ρ＝kT2
【答案】D
【詳解】火星探測器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運動時，GMmR2＝m4π2T2R，又M＝43πR3?ρ，可得：ρ＝3πGT2＝kT2，故只有D正確．
2． 宇宙飛船在半徑為R1的軌道上運行，變軌后的半徑為R2，R1＞R2.宇宙飛船繞地球做勻速圓周運動，則變軌后宇宙飛船的(　　)
A．線速度變小 B．角速度變小
C．周期變大 D．向心加速度變大
【答案】D
【詳解】根據(jù)GmMr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2rT2＝ma向得v＝ GMr，可知變軌后飛船的線速度變大，A錯；角速度變大，B錯；周期變小，C錯；向心加速度變大，D正確．
3．在圓軌道上做勻速圓周運動的國際空間站里，一宇航員手拿一只小球相對于太空艙靜止“站立”于艙內(nèi)朝向地球一側(cè)的“地面”上，如圖所示．下列說法正確的是(　　)
A．宇航員相對于地球的速度介于7.9 km/s與11.2 km/s之間
B．若宇航員相對于太空艙無初速釋放小球，小球?qū)⒙涞健暗孛妗鄙?br>C．宇航員將不受地球的引力作用
D．宇航員對“地面”的壓力等于零
【答案】D
【詳解】7.9 km/s是發(fā)射衛(wèi)星的最小速度，是衛(wèi)星環(huán)繞地球運行的最大速度，可見，所有環(huán)繞地球運轉(zhuǎn)的衛(wèi)星、飛船等，其運行速度均小于7.9 km/s，故A錯誤；若宇航員相對于太空艙無初速釋放小球，由于慣性，小球仍具有原來的速度，所以地球?qū)π∏虻娜f有引力正好提供它做勻速圓周運動需要的向心力，即GMm′r2＝m′v2r，其中m′為小球的質(zhì)量，
故小球不會落到“地面”上，而是沿原來的軌道繼續(xù)做勻速圓周運動，故B錯誤；宇航員受地球的引力作用，此引力提供宇航員隨空間站繞地球作圓周運動的向心力，否則宇航員將脫圓周軌道，故C錯；因宇航員受的引力全部提供了向心力，宇航員不能對“地面”產(chǎn)生壓力，處于完全失重狀態(tài)，D正確．
4．我國未來將建立月球基地，并在繞月軌道上建造空間站．如圖4－4－10所示，關(guān)閉動力的航天飛機在月球引力作用下經(jīng)橢圓軌道向月球靠近，并將與空間站在B處對接．已知空間站繞月軌道半徑為r，周期為T，萬有引力常量為G，下列說法中正確的是(　　)
A．圖中航天飛機在飛向B處的過程中，月球引力做正功
B．航天飛機在B處由橢圓軌道可直接進入空間站軌道
C．根據(jù)題中條件可以算出月球質(zhì)量
D．根據(jù)題中條件可以算出空間站受到月球引力的大小
【答案】AC
【詳解】航天飛機在飛向B處的過程中，飛機受到的引力方向和飛行方向之間的夾角是銳角，月球引力做正功；由運動的可逆性知，航天飛機在B處先減速才能由橢圓軌道進入空間站軌道；設(shè)繞月球飛行的空間站質(zhì)量為m，GMmr2＝m4π2T2r，可以算出月球質(zhì)量M；空間站的質(zhì)量不知，不能算出空間站受到的月球引力大小．
5．為紀念伽利略將望遠鏡用于天文觀測400周年，2009年被定為以“探索我的宇宙”為主題的國際天文年．我國發(fā)射的“嫦娥一號”衛(wèi)星繞月球經(jīng)過一年多的運行，完成了既定任務(wù)，于2009年3月1日16時13分成功撞月．如圖所示為“嫦娥一號”衛(wèi)星撞月的模擬圖，衛(wèi)星在控制點開始進入撞月軌道．假設(shè)衛(wèi)星繞月球做圓周運動的軌道半徑為R，周期為T，引力常量為G.根據(jù)題中信息，以下說法正確的是(　　)
A．可以求出月球的質(zhì)量
B．可以求出月球?qū)Α版隙鹨惶枴毙l(wèi)星的引力
C．“嫦娥一號”衛(wèi)星在控制點處應(yīng)減速
D．“嫦娥一號”在地面的發(fā)射速度大于11.2 km/s
【答案】AC
【詳解】衛(wèi)星繞月球做圓周運動萬有引力提供向心力，有
GM月mR2＝m4π2T2R，則M月＝4π2R3GT2，選項A正確；因衛(wèi)星質(zhì)量m未知，無法求出月球?qū)Α版隙鹨惶枴毙l(wèi)星的引力，選項B錯誤；衛(wèi)星在控制點開始進入撞月軌道，做近心運動，則速度要減小，選項C正確；“嫦娥一號”在地面的發(fā)射速度大于7.9 km/s，小于11.2 km/s，選項D錯誤．
6． 我們在推導第一宇宙速度的公式v＝gR時，需要做一些假設(shè)和選擇一些理論依據(jù)，下列必要的假設(shè)和理論依據(jù)有(　　)
A．衛(wèi)星做半徑等于2倍地球半徑的勻速圓周運動
B．衛(wèi)星所受的重力全部作為其所需的向心力
C．衛(wèi)星所受的萬有引力僅有一部分作為其所需的向心力
D．衛(wèi)星的運轉(zhuǎn)周期必須等于地球的自轉(zhuǎn)周期
【答案】　B
【詳解】第一宇宙速度是衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，只有其運行軌道半徑最小時，它的運行速度才最大，而衛(wèi)星的最小軌道半徑等于地球半徑，故A錯誤；在地球表面附近我們認為萬有引力近似等于重力，故B正確，C錯誤；同步衛(wèi)星的運轉(zhuǎn)周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期，而同步衛(wèi)星的運行軌道半徑大于地球半徑，即大于近地軌道衛(wèi)星半徑，故同步衛(wèi)星的周期大于近地軌道衛(wèi)星，D錯誤．
7．1970年4月24日，我國自行設(shè)計、制造的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”發(fā)射成功，開創(chuàng)了我國航天事業(yè)的新紀元．“東方紅一號”的運行軌道為橢圓軌道，其近地點M和遠地點N的高度分別為439 km和2 384 km，則(　　)
A．衛(wèi)星在M點的勢能大于N點的勢能
B．衛(wèi)星在M點的角速度小于N點的角速度
C．衛(wèi)星在M點的加速度大于N點的加速度
D．衛(wèi)星在N點的速度大于7.9 km/s
【答案】　C
【詳解】衛(wèi)星從M點到N點，萬有引力做負功，勢能增大，A項錯誤；由開普勒第二定律知，M點的角速度大于N點的角速度，B項錯誤；由于衛(wèi)星在M點所受萬有引力較大，因而加速度較大，C項正確；衛(wèi)星在遠地點N的速度小于其在該點做圓周運動的線速度，而第一宇宙速度7.9 km/s是線速度的最大值，D項錯誤．
8．如圖所示，是美國的“卡西尼”號探測器經(jīng)過長達7年的“艱苦”旅行，進入繞土星飛行的軌道．若“卡西尼”號探測器在半徑為R的土星上空離土星表面高h的圓形軌道上繞土星飛行，環(huán)繞n周飛行時間為t，已知引力常量為G，則下列關(guān)于土星質(zhì)量M和平均密度ρ的表達式正確的是(　　)
A．M＝4π2?R＋h?3Gt2，ρ＝3π??R＋h?3Gt2R3
B．M＝4π2?R＋h?2Gt2，ρ＝3π??R＋h?2Gt2R3
C．M＝4π2t2?R＋h?3Gn2，ρ＝3π?t2??R＋h?3Gn2R3
D．M＝4π2n2?R＋h?3Gt2，ρ＝3π?n2??R＋h?3Gt2R3
【答案】　D
【詳解】　設(shè)“卡西尼”號的質(zhì)量為m，土星的質(zhì)量為M，“卡西尼”號圍繞土星的中心做勻速圓周運動，其向心力由萬有引力提供，GMm?R＋h?2＝m(R＋h)2πT2，其中T＝tn，解得M＝4π2n2?R＋h?3Gt2.又土星體積V＝43πR3，所以ρ＝MV＝3π?n2??R＋h?3Gt2R3.
9．宇航員在月球上做自由落體實驗，將某物體由距月球表面高h處釋放，經(jīng)時間t后落到月球表面(設(shè)月球半徑為R)．據(jù)上述信息推斷，飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運動所必須具有的速率為
(　　)
A.2Rht B.2Rht
C.Rht D.Rh2t
【答案】B
【詳解】設(shè)月球表面處的重力加速度為g0，則h＝12g0t2，設(shè)飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運動所必須具有的速率為v，由牛頓第二定律得mg0＝mv2R，兩式聯(lián)立解得v＝2Rht，選項B對．
10．下表是衛(wèi)星發(fā)射的幾組數(shù)據(jù)，其中發(fā)射速度v0是燃料燃燒完畢時火箭具有的速度，之后火箭帶著衛(wèi)星依靠慣性繼續(xù)上升，到達指定高度h后再星箭分離，分離后的衛(wèi)星以環(huán)繞速度v繞地球運動．根據(jù)發(fā)射過程和表格中的數(shù)據(jù)，下面哪些說法是正確的 (　　)
衛(wèi)星離地面
高度h(km)環(huán)繞速度
v(km/s)發(fā)射速度v0
(km/s)
07.917.91
2007.788.02
5007.618.19
10007.358.42
50005.529.48
∞011.18
A.不計空氣阻力，在火箭依靠慣性上升的過程中機械能守恒
B．離地越高的衛(wèi)星機械能越大
C．離地越高的衛(wèi)星環(huán)繞周期越大
D．當發(fā)射速度達到11.18 km/s時，衛(wèi)星能脫離地球到達宇宙的任何地方
【答案】AC
【詳解】由機械能守恒定律知，A正確．對B選項，由于衛(wèi)星的機械能除了與高度有關(guān)外，還與質(zhì)量有關(guān)，所以是錯誤的；由GMmr2＝m4π2T2r知，離地面越高的衛(wèi)星周期越大，C正確；從列表中可以看出，11.18 km/s的發(fā)射速度是第二宇宙速度，此速度是使衛(wèi)星脫離地球圍繞太陽運轉(zhuǎn)，成為太陽的人造行星的最小發(fā)射速度，但逃逸不出太陽系，D錯誤．
二、非
11．如圖所示，A是地球的同步衛(wèi)星，另一衛(wèi)星B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為h，已知地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)角速度為ω0，地球表面的重力加速度為g，O為地球中心．
(1)求衛(wèi)星B的運動周期；
(2)若衛(wèi)星B運行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時刻A、B兩衛(wèi)星相距最近(O、B、A在同一直線上)，則至少經(jīng)過多少時間，它們再一次相距最近？
【答案】(1)2π?R＋h?3gR2　(2)2πg(shù)R2?R＋h?3－ω0
【詳解】根據(jù)萬有引力提供向心力，列出萬有引力與周期的關(guān)系，即可求出衛(wèi)星B的運行周期．第二問關(guān)鍵是要尋找A、B兩衛(wèi)星再一次相距最近時它們轉(zhuǎn)過的角度關(guān)系，只要分析出A、B兩衛(wèi)星哪一個角速度大，就能確定相同時間內(nèi)A、B轉(zhuǎn)過的角度之間的關(guān)系．
(1)設(shè)衛(wèi)星B的運行周期為TB，由萬有引力定律和向心力公式得
GMm?R＋h?2＝m4π2TB2(R＋h)，①
GMmR2＝mg，②
聯(lián)立①②得TB＝2π?R＋h?3gR2.③
(2)用ω表示衛(wèi)星的角速度，r表示衛(wèi)星的軌道半徑，由萬有引力定律和向心力公式得GMmr2＝mrω2，④
聯(lián)立②④得ω＝gR2r3，⑤
因為rA>rB，所以ω0<ωB，用t表示所需的時間
(ωB－ω0)t＝2π，⑥
由③得ωB＝gR2?R＋h?3，⑦
代入⑥得t＝2πg(shù)R2?R＋h?3－ω0.
12．(17分)一飛船在某星球表面附近，受星球引力作用而繞其做勻速圓周運動的速率為v1，飛船在離該星球表面高度為h處，受星球引力作用而繞其做勻速圓周運動的速率為v2，已知萬有引力常量為G.試求：
(1)該星球的質(zhì)量；
(2)若設(shè)該星球的質(zhì)量為M，一個質(zhì)量為m的物體在離該星球球心r遠處具有的引力勢能為Ep＝－GMmr，則一顆質(zhì)量為m1的衛(wèi)星由r1軌道變?yōu)閞2(r1＜r2)軌道，對衛(wèi)星至少做多少功？(衛(wèi)星在r1、r2軌道上均做勻速圓周運動，結(jié)果請用M、m1、r1、r2、G表示)
設(shè)星球的半徑為R，質(zhì)量為M，則
【答案】(1)hv21v22G?v21－v22?　(2)G(Mm12r1－Mm12r2)
【詳解】 (1)飛船需要的向心力由萬有引力提供，則
GMmR2＝mv21R
GMm?R＋h?2＝mv22?R＋h?
解得M＝hv21v22G?v21－v22?.
(2)衛(wèi)星在軌道上有動能和勢能，其總和為E(機械能)，則GMm1r2＝m1v2r


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