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第一章　集合與常用邏輯用語

高考導(dǎo)航

考試要求重難點擊命題展望
1.集合的含義與表示
(1)了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系；
(2)能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.
2.集合間的基本關(guān)系
(1)理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；
(2)在具體情境中，了解全集與空集的含義.
3.集合的基本運算
(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；
(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；
(3)能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合的關(guān)系及運算.
4.命題及其關(guān)系
(1)理解命題的概念；
(2)了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題，否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系；
(3)理解必要條件，充分條件與充要條件的意義.
5.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞
了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義.
6.全稱量詞與存在量詞
(1)理解全稱量詞與存在量詞的意義；
(2)能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.本章重點：
1.集合的含義與表示、集合間的基本關(guān)系與基本運算；
2.命題的必要條件、充分條件與充要條件，對所給命題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
本章難點：
1.自然語言、圖形語言、集合語言之間相互轉(zhuǎn)換；
2.充分條件、必要條件的判斷；
3.對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定的理解.1.考查集合本身的基礎(chǔ)知識，如集合的概念，集合間的關(guān)系判斷和運算等；
2.將集合知識與其他知識點綜合，考查集合語言與集合思想的運用；
3.考查命題的必要條件、充分條件與充要條件，要求考生會對所給命題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化；
4.要求考生理解全稱量詞與存在量詞的意義，能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.



知識網(wǎng)絡(luò)





1.1　集合及其運算

　　　　　　　　　　　　　　　　　　
典例精析
題型一　集合中元素的性質(zhì)
【例1】設(shè)集合A＝{a＋1，a－3，2a－1，a2＋1}，若－3∈A，求實數(shù)a的值.
【解析】令a＋1＝－3?a＝－4，檢驗合格；
令a－3＝－3?a＝0，此時a＋1＝a2＋1，舍去；
令2a－1＝－3?a＝－1，檢驗合格；
而a2＋1≠－3；故所求a的值為－1或－4.
【點撥】此題重在考查元素的確定性和互異性.首先確定－3是集合A的元素，但A中四個元素全是未知的，所以需要討論；而當(dāng)每一種情況求出a的值以后，又需要由元素的互異性檢驗a是否符合要求.
【變式訓(xùn)練1】若a、b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，求a和b的值.
【解析】由{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，
得① 或② 　顯然①無解；由②得a＝－1，b＝1.
題型二　集合的基本運算
【例2】已知A＝{xx2－8x＋15＝0}，B＝{xax－1＝0}，若B?A，求實數(shù)a.
【解析】由已知得A＝{3，5}.當(dāng)a＝0時，B＝??A；當(dāng)a≠0時，B＝{1a}.
要使B?A，則1a＝3或1a＝5，即a＝13或15.
綜上，a＝0或13或15.
【點撥】對方程ax＝1，兩邊除以x的系數(shù)a，能不能除，導(dǎo)致B是否為空集，是本題分類討論的根源.
【變式訓(xùn)練2】(2010江西)若集合A＝{xx≤1，x∈R}，B＝{yy＝x2，x∈R}，則A∩B等于(　　)
A.{x－1≤x≤1} B.{xx≥0}
C.{x0≤x≤1} D.
【解析】選C.A＝[－1,1]，B＝[0,＋∞)，所以A∩B＝[0,1].
題型三　集合語言的運用
【例3】已知集合A＝[2，log2t]，集合B＝{xx2－14x＋24≤0}，x，t∈R，且A?B.
(1) 對于區(qū)間[a，b]，定義此區(qū)間的“長度”為b－a，若A的區(qū)間“長度”為3，試求t的值；
(2)某個函數(shù)f(x)的值域是B，且f(x)∈A的概率不小于0.6，試確定t的取值范圍.
【解析】(1)因為A的區(qū)間“長度”為3，所以log2t－2＝3，即log2t＝5，所以t＝32.
(2)由x2－14x＋24≤0，得2≤x≤12，所以B＝[2,12]，所以B的區(qū)間“長度”為10.
設(shè)A的區(qū)間“長度”為y，因為f(x)∈A的概率不小于0.6，
所以y10≥0.6，所以y≥6，即log2t－2 ≥6，解得t≥28＝256.
又A?B，所以log2t≤12，即t≤212＝4 096，所以t的取值范圍為[256,4 096](或[28, 212]).
【變式訓(xùn)練3】設(shè)全集U是實數(shù)集R，M＝{xx2＞4}，N＝{x2x－1≥1}，則圖中陰影部分所表示的集合是(　　)
A.{x－2≤x＜1}
B.{x－2≤x≤2}
C.{x1＜x≤2}
D.{xx＜2}
【解析】選C.
化簡得M＝{x＜－2或x＞2}，N＝{x1＜x≤3}，故圖中陰影部分為?RM∩N＝{x1＜x≤2}.
總結(jié)提高
1.元素與集合及集合與集合之間的關(guān)系
對于符號∈，?和?，?的使用 ，實質(zhì)上就是準(zhǔn)確把握兩者之間是元素與集合，還是集合與集合的關(guān)系.
2.“數(shù)形結(jié)合”思想在集合運算中的運用
認(rèn)清集合的本質(zhì)特征，準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系，是解決集合運算中的重要數(shù)學(xué)思想.
(1)要牢固掌握兩個重要工具：韋恩圖和數(shù)軸，連續(xù)取值的數(shù)集運算，一般借助數(shù)軸處理，而列舉法表示的有限集合則側(cè)重于用韋恩圖處理.
(2)學(xué)會將集合語言轉(zhuǎn)化為代數(shù)、幾何語言，借助函數(shù)圖象及方程的曲線將問題形象化、直觀化，以便于問題的解決.
3.處理集合之間的關(guān)系時， 是一個不可忽視、但又容易遺漏的內(nèi)容，如 A?B，A∩B＝A，A∪B＝B等條件中，集合A可以是空集，也可以是非空集合，通常必須分類討論.

命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

典例精析
題型一　四種命題的寫法及真假判斷
【例1】寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假.
(1)若m，n都是奇數(shù)，則m＋n是奇數(shù)；
(2)若x＋y＝5，則x＝3且y＝2.
【解析】(1)逆命題： 若m＋n是奇數(shù)，則m，n都是 奇數(shù)，假命題；
否命題：若m，n不都是奇數(shù)，則m＋n不是奇數(shù)，假命題；
逆否命題：若m＋n不是奇數(shù)， 則m，n不都是奇數(shù)，假命題.
(2)逆命題：若x＝3且y＝2，則x＋y＝5，真命題；
否命題：若x＋y≠5，則x≠3或y≠2，真命題；
逆否命題：若x≠3或y≠2，則x＋y≠5，假命題.
【點撥】寫命題的四種形式，關(guān)鍵是找出命題的條件與結(jié)論，根據(jù)四種命題結(jié)構(gòu)寫出所求命題.判斷 四種命題真假，要熟悉四種命題的相互關(guān)系，注意它們之間的相互性.
【變式訓(xùn)練1】已知命題“若p，則q”為真，則下列命題中一定為真的是(　　)
A.若 p，則 q B.若 q，則 p
C.若q，則p D.若 q，則p
【解析】選 B.
題型二　充分必要條件探究
【例2】設(shè)m＞0，且為常數(shù)，已知條件p：x－2＜m，條件q：x2－4＜1，若 p是 q的必要非充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.
【解析】 設(shè)集合A＝{x x－2＜m}＝{x2－m＜x＜2＋m}，B＝{xx2－4＜1}＝{x3＜x＜5或－5＜x＜－3}.
由題設(shè)有： q? p且 p不能推出 q，所以p?q且q不能推出p，所以A?B.
因為m＞0，所以(2－m，2＋m)?(3，5)，
故由2＋m≤5且2－m≥3?0＜m≤5－2，故實數(shù)m的取值范圍為(0，5－2].
【點撥】正確化簡條件p和q，然后將充分條件、必要條件問題等價轉(zhuǎn)化為集合與集合之間的包含問題，借助數(shù)軸這個處理集合問題的有力工具使問題得以解決.
【變式訓(xùn)練2】已知集合A＝{xa－2＜x＜a＋2}，B＝{xx≤－2或x≥4}，則A∩B＝?的充要條件是(　　)
A.0≤a≤2 B.－2＜a＜2
C.0＜a≤2D.0＜a＜2
【解析】選A.因為A＝{xa－2＜x＜a＋2}，B＝{xx≤－2或x≥4}，且A∩B＝?，所以如圖 ，由畫出的數(shù)軸可知，


即0≤a≤2.
題型三　充分必要條件的證明
【例3】設(shè)數(shù)列{an}的各項都不為零，求證：對任意n∈N*且n≥2，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＝n－1a1an成立的充要條件是{an}為等差數(shù)列.
【證明】(1)(充分性)若{an}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則
1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＝1d[(1a1－1a2)＋(1a2－1a3)＋…＋(1an－1－1an)]
＝1d(1a1－1an)＝an－a1da1an＝n－1a1an.
(2)(必要性)若1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＝n－1a1an，
則1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＋1anan＋1＝na1an＋1，
兩式相減得1anan＋1＝na1an＋1－n－1a1an ?a1＝nan－(n－1)an＋1.①
于是有a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2，②
由①②得nan－2nan＋1＋nan＋2＝0，所以an＋1－an＝an＋2－an＋1(n≥2).
又由1a1a2＋1a2a3＝2a1a3?a3－a2＝a2－a1，
所以n∈N*,2an＋1＝an＋2＋an，故{an}為等差數(shù)列.
【點撥】按照充分必要條件的概念，分別從充分性和必要性兩方面進(jìn)行探求.
【變式訓(xùn)練3】設(shè)0＜x＜π2，則“xsin2x＜1”是“xsin x＜1”的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
【解析】選B.若xsin x＜1，因為x∈(0，π2)，所以xsin x＞xsin2x，由此可得xsin2x＜1，即必要性成立.若xsin2x＜1，由于函數(shù)f(x)＝xsin2x在(0，π2)上單調(diào)遞增，且π2sin2π2＝π2＞1，所以存在x0∈(0，π2) 使得x0sin2x0＝1.又x0sin x0＞x0sin2x0＝1，即x0sin x0＞1，所以存在x0′∈(0，x0)使得x0′sin2x0′＜1，且x0′sin x0′≥1，故充分性不成立.
總結(jié)提高
1.四種命題的定義和區(qū)別，主要在于命題的結(jié)論和條件的變化上.
2.由于互 為逆否命題的兩個命題是等價的，所以我們在證明一個命題的真假時，可以通過其逆否命題的證明來達(dá)到目的.適合這種處理方法的題型有：
①原命題含有否定詞“不”、“不能”、“不是”等；②原命題含有“所有的”、“任意的”、“至少 ”、“至多”等；③原命題分類復(fù)雜，而逆否命題分類簡單；④原命題化簡復(fù)雜，而逆否命題化簡簡單.
3.p是q的充分條件，即p?q，相當(dāng)于分別滿足條件p和q的兩個集合P與Q之間有包含關(guān)系：P?Q，即P Q或P＝Q，必要條件正好相反.而充要條件p?q就相當(dāng)于P＝Q.
4.以下四種說法表達(dá)的意義是相同的：①命題“若p，則q”為真；②p?q；③p是q的充分條件；④q是p的必要條件.

1.3　簡易邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞

典例精析
題型一　全稱命題和特稱命題的真假判斷
【例1】判斷下列命題的真假.
(1)?x∈R，都有x2－x＋1＞12；
(2)?α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β；
(3)?x，y∈N，都有x－y∈N；
(4)?x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.
【解析】(1)真命題，因為x2－x＋1＝(x－12)2＋34≥34＞12.
(2)真命題，例如α＝π4，β＝π2，符合題意.
(3)假命題，例如x＝1，y＝5，但x－y＝－4?N.
(4)真命題，例如x0＝0，y0＝3，符合題意.
【點撥】全稱命題是真命題，必須確定對集合中的每一個元素都成立，若是假命題，舉反例即可；特稱命題是真命題，只要在限定集合中，至少找到一個元素使得命題成立.
【變式訓(xùn)練1】已知命題p：?x∈R，使tan x＝1，命題q：?x∈R，x2＞0.則下面結(jié)論正確的是(　　)
A.命題“p∧q”是真命題B.命題“p∧ q”是假命題
C. 命題“ p∨q”是真命題D.命題“ p∧ q”是假命題
【解析】選D.先判斷命題p和q的真假，再逐個判斷.容易知命題p是真命題，如x＝π4， p是假命題；因為當(dāng)x＝0時，x2＝0，所以命題q是假命題， q是真命題.所以“p∧q”是假命題，A錯誤；“p∧ q”是真命題，B錯誤；“ p∨q”是假命題，C錯誤；“ p∧ q”是假命題，D正確.

題型二　含有一個量詞的命題的否定
【例2】寫出下列命題的否定，并判斷其真假.
(1)p：?x∈R，x2－x＋14≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：?x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(4)s：至少有一個實數(shù)x，使x3＋1＝0.
【解析】(1) p：?x∈R，x2－x＋14＜0，是假命題.
(2) q：至少存在一個正方形不是矩形，是假命題.
(3) r：?x∈R，x2＋2x＋2＞0，是真命題.
(4) s：?x∈R，x3＋1≠0，是假命題.
【點撥】含有一個量詞的命題否定中，全稱命題的否定是特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，一般命題的否定則是直接否定結(jié)論即可.
【變式訓(xùn)練2】已知命題p：?x∈(1，＋∞)，log3x＞0，則 p為　　　　　.
【解析】?x0∈(1，＋∞)，log3x0≤0.
題型三　命題的真假運用
【例3】若r(x)：sin x＋cos x＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0，如果“對任意的x∈R，r(x)為假命題”且“對任意的x∈R，s(x)為真命題”，求實數(shù)m的取值范圍.
【解析】因為由m＜sin x＋cos x＝2sin(x＋π4)恒成立，得m＜－2；
而由x2＋mx＋1＞0恒成立，得m2－4＜0，即－2＜m＜2.
依題意，r(x)為假命題且s(x)為真命題，所以有m≥－2且－2＜m＜2，
故所求m的取值范圍為－2≤m＜2.
【點撥】先將滿足命題p、q的m的取值集合A、B分別求出，然后由r(x)為假命題(取A的補集)，s(x)為真命題同時成立(取交集)即得.
【變式訓(xùn)練3】設(shè)M是由滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)構(gòu)成的集合：在定義域內(nèi)存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立.已知下列函數(shù)：①f(x)＝1x；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cos πx，其中屬于集合M的函數(shù)是　　　(寫出所有滿足要求的函數(shù)的序號).
【解析】②④.對于①，方程1x＋1＝1x＋1，顯然無實數(shù)解；
對于②，由方程2x＋1＝2x＋2，解得x＝1；
對于③，方程lg[(x＋1)2＋2]＝lg(x2＋2)＋lg 3，顯然也無實數(shù)解；
對于④，方程cos[π(x＋1)]＝cos πx＋cos π，
即cos πx＝12，顯然存在x使等式成立.故填②④.
總結(jié)提高
1.同一個全稱命題，特稱命題，由于自然語言的不同，可能有不同的表述方法，在實際應(yīng)用中可以靈活選擇.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.douzifanli.com/gaosan/59439.html

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