直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律及追及問題
一 、 例題
例題1.一物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻速度大小為4m/s，1s后速度的大小變?yōu)?0m/s，在這1s內(nèi)該物體的 （ ）
A.位移的大小可能小于4m
B.位移的大小可能大于10m
C.加速度的大小可能小于4m/s
D.加速度的大小可能大于10m/s
析：同向時(shí)
反向時(shí)
式中負(fù)號(hào)表示方向跟規(guī)定正方向相反
答案：A、D
例題2：兩木塊自左向右運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)用高速攝影機(jī)在同一底片上多次曝光，記錄下木快每次曝光時(shí)的位置，如圖所示，連續(xù)兩次曝光的時(shí)間間隔是相等的，由圖可知 （ ）
A 在時(shí)刻t2以及時(shí)刻t5兩木塊速度相同
B 在時(shí)刻t1兩木塊速度相同
C 在時(shí)刻t3和時(shí)刻t4之間某瞬間兩木塊速度相同
D 在時(shí)刻t4和時(shí)刻t5之間某瞬間兩木塊速度相同
解析：首先由圖看出：上邊那個(gè)物體相鄰相等時(shí)間內(nèi)的位移之差為恒量，可以判定其做勻變速直線運(yùn)動(dòng)；下邊那個(gè)物體很明顯地是做勻速直線運(yùn)動(dòng)。由于t2及t3時(shí)刻兩物體位置相同，說明這段時(shí)間內(nèi)它們的位移相等，因此其中間時(shí)刻的即時(shí)速度相等，這個(gè)中間時(shí)刻顯然在t3、t4之間
答案：C
例題3 一跳水運(yùn)動(dòng)員從離水面10m高的平臺(tái)上躍起，舉雙臂直立身體離開臺(tái)面，此時(shí)中心位于從手到腳全長的中點(diǎn)，躍起后重心升高0.45m達(dá)到最高點(diǎn)，落水時(shí)身體豎直，手先入水（在此過程中運(yùn)動(dòng)員水平方向的運(yùn)動(dòng)忽略不計(jì)）從離開跳臺(tái)到手觸水面，他可用于完成空中動(dòng)作的時(shí)間是多少？（g取10m/s2結(jié)果保留兩位數(shù)字）
解析：根據(jù)題意計(jì)算時(shí)，可以把運(yùn)動(dòng)員的全部質(zhì)量集中在重心的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，且忽略其水平方向的運(yùn)動(dòng)，因此運(yùn)動(dòng)員做的是豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由 可求出剛離開臺(tái)面時(shí)的速度 ，由題意知整個(gè)過程運(yùn)動(dòng)員的位移為－10m（以向上為正方向），由 得：
－10=3t－5t2
解得：t≈1.7s
思考：把整個(gè)過程分為上升階段和下降階段解，可以嗎？
例題4.如圖所示，有若干相同的小鋼球，從斜面上的某一位置每隔0.1s釋放一顆，在連續(xù)釋放若干顆鋼球后對(duì)斜面上正在滾動(dòng)的若干小球攝下照片如圖，測(cè)得AB=15cm，BC=20cm，試求：
（1）拍照時(shí)B球的速度；
（2）A球上面還有幾顆正在滾動(dòng)的鋼球
解析：拍攝得到的小球的照片中，A、B、C、D…各小球的位置，正是首先釋放的某球每隔0.1s所在的位置.這樣就把本題轉(zhuǎn)換成一個(gè)物體在斜面上做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)的問題了。求拍攝時(shí)B球的速度就是求首先釋放的那個(gè)球運(yùn)動(dòng)到B處的速度；求A球上面還有幾個(gè)正在滾動(dòng)的小球變換為首先釋放的那個(gè)小球運(yùn)動(dòng)到A處經(jīng)過了幾個(gè)時(shí)間間隔（0.1s）
（1）A、B、C、D四個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相差△T=0.1s
VB= = m/s=1.75m/s
（2）由△s=a△T2得：
a= m/s2= =5m/s2
例5：火車A以速度v1勻速行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)正前方同一軌道上相距s處有另一火車B沿同方向以速度v2（對(duì)地，且v2〈v1〉做勻速運(yùn)動(dòng)，A車司機(jī)立即以加速度（絕對(duì)值）a緊急剎車，為使兩車不相撞，a應(yīng)滿足什么條？
分析：后車剎車做勻減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)后車運(yùn)動(dòng)到與前車車尾即將相遇時(shí)，如后車車速已降到等于甚至小于前車車速，則兩車就不會(huì)相撞，故取s后=s+s前和v后≤v前求解
解法一：取取上述分析過程的臨界狀態(tài)，則有
v1t－ a0t2＝s＋v2t
v1－a0t = v2
a0 =
所以當(dāng)a≥ 時(shí)，兩車便不會(huì)相撞。
法二：如果后車追上前車恰好發(fā)生相撞，則
v1t－ at2 ＝ s ＋v2t
上式整理后可寫成有關(guān)t的一元二次方程，即
at2＋（v2－v1）t＋s ＝ 0
取判別式△〈0，則t無實(shí)數(shù)解，即不存在發(fā)生兩車相撞時(shí)間t。△≥0，則有
（v2－v1）2≥4（ a）s
得a≤
為避免兩車相撞，故a≥
法三：運(yùn)用v-t圖象進(jìn)行分析，設(shè)從某時(shí)刻起后車開始以絕對(duì)值為a的加速度開始剎車，取該時(shí)刻為t=0，則A、B兩車的v-t圖線如圖所示。圖中由v1 、v2、C三點(diǎn)組成的三角形面積值即為A、B兩車位移之差（s后－s前）=s，tanθ即為后車A減速的加速度絕對(duì)值a0。因此有
（v1－v2） =s
所以 tanθ=a0=
若兩車不相撞需a≥a0=
二、習(xí)題
1、 下列關(guān)于所描述的運(yùn)動(dòng)中，可能的是 （ ）
A 速度變化很大，加速度很小
B 速度變化的方向?yàn)檎�，加速度方向�(yàn)樨?fù)
C 速度變化越越快，加速度越越小
D 速度越越大，加速度越越小
解析：由a=△v/△t知，即使△v很大，如果△t足夠長，a可以很小，故A正確。速度變化的方向即△v的方向，與a方向一定相同，故B錯(cuò)。加速度是描述速度變化快慢的物理量，速度變化快，加速度一定大。故C錯(cuò)。加速度的大小在數(shù)值上等于單位時(shí)間內(nèi)速度的改變量，與速度大小無關(guān)，故D正確。
答案：A、D
2、 一個(gè)物體在做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，已知它在第一個(gè)△t時(shí)間內(nèi)的位移為s，若 △t未知，則可求出 （ ）
A．第一個(gè)△t時(shí)間內(nèi)的平均速度
B．第n個(gè)△t時(shí)間內(nèi)的位移
C．n△t時(shí)間的位移
D．物體的加速度
解析：因 = ，而△t未知，所以 不能求出，故A錯(cuò).因 有 ， （2n-1）s，故B正確；又s∝t2 所以 =n2，所以sn=n2s，故C正確；因a= ，盡管△s=sn-sn-1可求，但△t未知，所以A求不出，D錯(cuò).
答案：B、C
3 、汽車原以速度v勻速行駛,剎車后加速度大小為a,做勻減速運(yùn)動(dòng),則t秒后其位移為( )
A B C D 無法確定
解析:汽車初速度為v，以加速度a作勻減速運(yùn)動(dòng)。速度減到零后停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)其運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t，= 。當(dāng)t≤t，時(shí)，汽車的位移為s= ；如果t＞t，，汽車在t，時(shí)已停止運(yùn)動(dòng)，其位移只能用公式v2=2as計(jì)算，s=
答案：D
4、汽車甲沿著平直的公路以速度v0做勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它路過某處的同時(shí)，該處有一輛汽車乙開始做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)去追趕甲車，根據(jù)上述的已知條（ ）
A.可求出乙車追上甲車時(shí)乙車的速度
B.可求出乙車追上甲車時(shí)乙車所走的路程
C.可求出乙車從開始起動(dòng)到追上甲車時(shí)所用的時(shí)間
D.不能求出上述三者中任何一個(gè)
分析：題中涉及到2個(gè)相關(guān)物體運(yùn)動(dòng)問題，分析出2個(gè)物體各作什么運(yùn)動(dòng)，并盡力找到兩者相關(guān)的物理?xiàng)l是解決這類問題的關(guān)鍵，通�？梢詮奈灰脐P(guān)系、速度關(guān)系或者時(shí)間關(guān)系等方面去分析。
解析：根據(jù)題意，從汽車乙開始追趕汽車甲直到追上，兩者運(yùn)動(dòng)距離相等，即s甲=
=s乙=s，經(jīng)歷時(shí)間t甲=t乙=t.
那么，根據(jù)勻速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)甲應(yīng)有：
根據(jù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)乙有： ，及
由前2式相除可得at=2v0，代入后式得vt=2v0，這就說明根據(jù)已知條可求出乙車追上甲車時(shí)乙車的速度應(yīng)為2v0。因a不知，無法求出路程和時(shí)間，如果我們采取作v－t圖線的方法，則上述結(jié)論就比較容易通過圖線看出。圖中當(dāng)乙車追上甲車時(shí)，路程應(yīng)相等，即從圖中圖線上看面積s甲和s乙，顯然三角形高vt等于長方形高v0的2倍，由于加速度a未知，乙圖斜率不定，a越小，t越大，s也越大，也就是追趕時(shí)間和路程就越大。
答案：A
5 、在輕繩的兩端各栓一個(gè)小球，一人用手拿者上端的小球站在3層樓陽臺(tái)上，放手后讓小球自由下落，兩小球相繼落地的時(shí)間差為T，如果站在4層樓的陽臺(tái)上，同樣放手讓小球自由下落，則兩小球相繼落地時(shí)間差將 （ ）
A 不變 B 變大 C 變小 D 無法判斷
解析：兩小球都是自由落體運(yùn)動(dòng)，可在一v-t圖象中作出速度隨時(shí)間的關(guān)系曲線，如圖所示，設(shè)人在3樓陽臺(tái)上釋放小球后，兩球落地時(shí)間差為△t1，圖中陰影部分面積為△h，若人在4樓陽臺(tái)上釋放小球后，兩球落地時(shí)間差△t2，要保證陰影部分面積也是△h；從圖中可以看出一定有△t2〈△t1
答案：C
6、一物體在A、B兩點(diǎn)的正中間由靜止開始運(yùn)動(dòng)（設(shè)不會(huì)超越A、B），其加速度隨時(shí)間變化如圖所示。設(shè)向A的加速度為為正方向，若從出發(fā)開始計(jì)時(shí)，則物體的運(yùn)動(dòng)情況是（ ）
A 先向A ，后向B，再向A，又向B，4秒末靜止在原處
B 先向A ，后向B，再向A，又向B，4秒末靜止在偏向A的某點(diǎn)
C 先向A ，后向B，再向A，又向B，4秒末靜止在偏向B的某點(diǎn)
D 一直向A運(yùn)動(dòng)，4秒末靜止在偏向A的某點(diǎn)
解析：根據(jù)a-t圖象作出其v-t圖象，如右圖所示，由該圖可以看出物體的速度時(shí)大時(shí)小，但方向始終不變，一直向A運(yùn)動(dòng)，又因v-t圖象與t軸所圍“面積”數(shù)值上等于物體在t時(shí)間內(nèi)的位移大小，所以4秒末物體距A點(diǎn)為2米
答案：D
7、天觀測(cè)表明，幾乎所有遠(yuǎn)處的恒星（或星系）都在以各自的速度背離我們而運(yùn)動(dòng)，離我們?cè)竭h(yuǎn)的星體，背離我們運(yùn)動(dòng)的速度（稱為退行速度）越大；也就是說，宇宙在膨脹，不同星體的退行速度v和它們離我們的距離r成正比，即v=Hr。式中H為一常量，稱為哈勃常數(shù)，已由天觀察測(cè)定，為解釋上述現(xiàn)象，有人提供一種理論，認(rèn)為宇宙是從一個(gè)大爆炸的火球開始形成的，假設(shè)大爆炸后各星體即以不同的速度向外勻速運(yùn)動(dòng)，并設(shè)想我們就位于其中心，則速度越大的星體現(xiàn)在離我們?cè)竭h(yuǎn)，這一結(jié)果與上述天觀測(cè)一致。
由上述理論和天觀測(cè)結(jié)果，可估算宇宙年齡T，其計(jì)算式如何？根據(jù)近期觀測(cè)，哈勃常數(shù)H=3×10-2m/（s 光年），其中光年是光在一年中行進(jìn)的距離，由此估算宇宙的年齡約為多少年？
解析：由題意可知，可以認(rèn)為宇宙中的所有星系均從同一點(diǎn)同時(shí)向外做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由于各自的速度不同，所以星系間的距離都在增大，以地球?yàn)閰⒖枷�，所有星系以不同的速度均在勻速遠(yuǎn)離。則由s=vt可得r=vT，所以，宇宙年齡：T= = =
若哈勃常數(shù)H=3×10-2m/（s 光年）
則T= =1010年
思考：1 宇宙爆炸過程動(dòng)量守恒嗎？如果爆炸點(diǎn)位于宇宙的“中心”，地球相對(duì)于這個(gè)“中心”做什么運(yùn)動(dòng)？其它星系相對(duì)于地球做什么運(yùn)動(dòng)？
2 其它星系相對(duì)于地球的速度與相對(duì)于這個(gè)“中心”的速度相等嗎？
8、摩托車在平直公路上從靜止開始起動(dòng)，a1=1.6m/s2，稍后勻速運(yùn)動(dòng)，然后減速，a2=6.4m/s2，直到停止，共歷時(shí)130s，行程1600m。試求：
（1）摩托車行駛的最大速度vm；
（2）若摩托車從靜止起動(dòng)，a1、a2不變，直到停止，行程不變，所需最短時(shí)間為多少？
分析：（1）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程分三個(gè)階段：勻加速運(yùn)動(dòng)；勻速運(yùn)動(dòng)；勻減速運(yùn)動(dòng)�？山柚鷙-t圖象表示。
（2）首先要回答摩托車以什么樣的方式運(yùn)動(dòng)可使得時(shí)間最短。借助v-t圖象可以證明：當(dāng)摩托車以a1勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度達(dá)到v/m時(shí)，緊接著以a2勻減速運(yùn)動(dòng)直到停止時(shí)，行程不變，而時(shí)間最短
解：（1）如圖所示，利用推論vt2-v02=2as有： +（130- ）vm+ =1600.其中a1=1.6m/s2,a2=6.4m/s2.解得：vm=12.8m/s（另一解舍去）.
(2)路程不變，則圖象中面積不變，當(dāng)v越大則t越小，如圖所示.設(shè)最短時(shí)間為tmin，則tmin= ① =1600 ②
其中a1=1.6m/s2,a2=6.4m/s2.由②式解得vm=64m/s，故tmin= .既最短時(shí)間為50s.
答案：（1）12.8m/s （2）50s
9一平直的傳送以速率v=2m/s勻速行駛，傳送帶把A處的工送到B處，A、B兩處相距L=10m，從A處把工無初速度地放到傳送帶上，經(jīng)時(shí)間t=6s能傳送到B處，欲使工用最短時(shí)間從A處傳送到B處，求傳送帶的運(yùn)行速度至少應(yīng)多大？
解析：物體在傳送帶上先作勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度達(dá)到v=2m/s后與傳送帶保持相對(duì)靜止，作勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)加速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，加速度為a，則勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（6-t）s，則：
v=at ①
s1= at2 ②
s2=v(6-t) ③
s1+s2=10 ④
聯(lián)列以上四式，解得t=2s,a=1m/s2
物體運(yùn)動(dòng)到B處時(shí)速度即為皮帶的最小速度
由v2=2as 得v= m/s
傳送帶給物體的滑動(dòng)摩擦力提供加速度，即 此加速度為物體運(yùn)動(dòng)的最大加速度.要使物體傳送時(shí)間最短，應(yīng)讓物體始終作勻加速運(yùn)動(dòng)
10、一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以3m/s2的加速度開始行駛，恰在這時(shí)一輛自行車以6m/s的速度勻速駛，從后邊趕過汽車。試求：
（1）汽車從路口開動(dòng)后，在追上自行車之前經(jīng)過多長時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？
（2）什么時(shí)候汽車追上自行車，此時(shí)汽車的速度是多少？
解析：解法一：汽車開動(dòng)后速度由零逐漸增大，而自行車的速度是定值。當(dāng)汽車的速度還小于自行車速度時(shí)，兩者的距離將越越大，而一旦汽車速度增加到超過自行車速度時(shí)，兩車距離就將縮小。因此兩者速度相等時(shí)兩車相距最大，有 ，所以，
解法二：用數(shù)學(xué)求極值方法求解
（1）設(shè)汽車在追上自行車之前經(jīng)過t時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)，
因?yàn)?
所以 ，由二次函數(shù)求極值條知， 時(shí)， 最大
即
（2）汽車追上自行車時(shí)，二車位移相等，則
,
解法三：用相對(duì)運(yùn)動(dòng)求解更簡捷
選勻速運(yùn)動(dòng)的自行車為參考系，則從運(yùn)動(dòng)開始到相距最遠(yuǎn)這段時(shí)間內(nèi)，汽車相對(duì)此參考系的各個(gè)物理量為：
初速度v0 = v汽初－v自 =（0－6）m/s = －6m/s
末速度vt = v汽末－v自 =（6－6）m/s = 0
加速度 a = a汽－a自 =（3－0）m/s2 = 3m/s2
所以相距最遠(yuǎn) s= =－6m（負(fù)號(hào)表示汽車落后）
解法四：用圖象求解
（1）自行車和汽車的v-t圖如圖，由于圖線與橫坐標(biāo)軸所包圍的面積表示位移的大小，所以由圖上可以看出：在相遇之前，在t時(shí)刻兩車速度相等時(shí)，自行車的位移（矩形面積）與汽車的位移（三角形面積）之差（即斜線部分）達(dá)最大，所以
t=v自/a= s=2s
△s= vt－at2/2 =（6×2－3×22/2）m= 6m
（2）由圖可看出：在t時(shí)刻以后，由v自或與v汽線組成的三角形面積與標(biāo)有斜線的三角形面積相等時(shí)，兩車的位移相等（即相遇）。所以由圖得相遇時(shí)，t’= 2t = 4s，v’= 2v自=12m/s
答案 （1）2s 6m （2）12m/s
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