第四 重力作用下的運(yùn)動(dòng) 圓周運(yùn)動(dòng) 萬(wàn)有引力
從研究的運(yùn)動(dòng)形式看，本由單方向的直線運(yùn)動(dòng)，擴(kuò)展到往復(fù)運(yùn)動(dòng)和曲線運(yùn)動(dòng)，從研究方法看，本綜合運(yùn)用牛頓定律和勻變速直線運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及深層原因作了剖析，體現(xiàn)了牛頓定律在力學(xué)中的核心地位；從思想方法看，通過(guò)本復(fù)習(xí)，使學(xué)生掌握確定物體運(yùn)動(dòng)情況的基本方法，掌握研究復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的基本方法——正交分解、運(yùn)動(dòng)的合成與分解。
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：
專題一 重力作用下的運(yùn)動(dòng)
——自由落體與豎直上拋
【考點(diǎn)透析】
一、本專題考點(diǎn)： 本專題為II類要求，即要求對(duì)自由落體和豎直上拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律熟練掌握，并能夠和生產(chǎn)、生活實(shí)際相聯(lián)，解決具體問(wèn)題。
二、理解和掌握的內(nèi)容
1. 做自由落體與豎直上拋運(yùn)動(dòng)的物體均受重力作用，它們運(yùn)動(dòng)的加速度均為重力加速度。
2.自由落體運(yùn)動(dòng):可看成是勻變速直線運(yùn)動(dòng)的特例,即初速度 =0，加速度a=g，滿足初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的所有基本規(guī)律和推論。
3.豎直上拋運(yùn)動(dòng)：(1) 規(guī)律:上升過(guò)成是加速度為g的勻減速運(yùn)動(dòng)，下落過(guò)程是自由落體運(yùn)動(dòng)，各自符合勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律；全過(guò)程也符合a=?g（取 方向?yàn)檎较颍┑膭蜃兯僦本�運(yùn)動(dòng)規(guī)律。
（2）兩個(gè)結(jié)論：上升的最大高度 = ，上升到最大高度所用的時(shí)間
4.豎直上拋運(yùn)動(dòng)的兩種研究方法
（1）分段法：上升階段是勻減速直線運(yùn)動(dòng)，下落階段是自由落體運(yùn)動(dòng)。下落過(guò)程是上升過(guò)程的逆過(guò)程。
（2）整體法：從全程看，加速度方向始終與初速度V 的方向相反，所以可把豎直上拋運(yùn)動(dòng)看成是一個(gè)勻變速運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用時(shí)要特別注意矢量的正負(fù)號(hào)。一般選取向上為正方向，V 總是正值，上升過(guò)程中V為正值，下降過(guò)程V為負(fù)值；物體在拋出點(diǎn)以上時(shí)h為正值，物體在拋出點(diǎn)以下時(shí)h為負(fù)值。
5．豎直上拋運(yùn)動(dòng)的上升階段和下降階段具有對(duì)稱性
（1）速度對(duì)稱：上升和下降過(guò)程經(jīng)過(guò)同一位置時(shí)速度等大反向。
（2）時(shí)間對(duì)稱：上升和下降過(guò)程經(jīng)過(guò)同一段高度的上升時(shí)間和下降時(shí)間相等。
【例題精析】
例1 在豎直的井底，將一物塊以11m/s的速度豎直地向上拋出，物體沖過(guò)井口再落到井口時(shí)被接住前1s內(nèi)物體的位移是4m,位移方向向上，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s2，求：（1）物體從拋出到被人接住所經(jīng)歷的時(shí)間。（2）此豎直井的深度。
解析（1）設(shè)人接住物塊前1s時(shí)刻速度為v
則有 即 解得 v=9m/s
則物塊從拋出到接住所有總時(shí)間為
(2)豎直井的深度為
把豎直上拋運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程作為勻變速運(yùn)動(dòng)處理比較簡(jiǎn)單，但在使用公式 時(shí)應(yīng)注意正方向的規(guī)定和式中各量正、負(fù)號(hào)的意義。
例2 滴水法測(cè)重力加速度的過(guò)程是這樣的，讓水龍頭的水一滴一滴的滴在其正下方的盤(pán)子里，調(diào)整水龍頭，讓前一滴水滴到盤(pán)子里而聽(tīng)到聲音時(shí)，后一滴恰離開(kāi)水龍頭。測(cè)出從第一次聽(tīng)到聲音到第n次聽(tīng)到水擊盤(pán)聲的總時(shí)間為t，用刻度尺量出水龍頭口到盤(pán)子的高度差h，即可算出重力加速度。設(shè)人耳能區(qū)別兩個(gè)聲音的時(shí)間隔為0.1s，聲速為340m/s，則
A.水龍頭距人耳的距離至少為34m B.水龍頭距盤(pán)子的距離至少為34m
C.重力加速度的計(jì)算式為 D.重力加速度的計(jì)算式為
解析:n次響聲間隔時(shí)間對(duì)應(yīng)(n-1)個(gè)水滴下落用的時(shí)間,所以一個(gè)水滴下落時(shí)間 = . 由h= 得: g= ，水龍頭到盤(pán)子的距離最少為 ×10×0.12=0.05m≠34m.另外，需要指出人聽(tīng)到兩滴水響聲的時(shí)間間隔與人耳距水龍頭的距離無(wú)關(guān)，正確答案：D。
本題告訴我們一種粗測(cè)重力加速度的方法，是自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基本應(yīng)用。解題關(guān)鍵是正確確定水滴下落時(shí)在空中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。如不能建立正確的物理情境，找不到水滴下落的規(guī)律，就很容易錯(cuò)選。比如許多同學(xué)沒(méi)有正確分析出記錄時(shí)間與水滴次數(shù)的關(guān)系而錯(cuò)選C。
思考拓寬：本題中如讓一滴水到盤(pán)子而聽(tīng)到聲音時(shí)有一滴恰離開(kāi)水龍頭，且空中有一滴正在下落，從第一滴開(kāi)始測(cè)得n次聽(tīng)到水擊盤(pán)聲的總時(shí)間為t，同樣已知h。則算出重力加速度g= ，且一滴落入盤(pán)中時(shí)，空中一滴離水龍頭口的距離為 。
提示：歸納得出第一滴經(jīng)T落入盤(pán)中后每隔 有一滴落入盤(pán)中，
故有T+（n-1） = t，得T= ；由h= gt2,得g=
由于每隔相同的時(shí)間間隔下落一滴，因此當(dāng)一滴剛好離開(kāi)水龍頭時(shí)，連續(xù)兩滴間距離之比為1：3，當(dāng)有一滴剛好落入盤(pán)中時(shí)，中間一滴離水龍頭口的距離為 。
【能力提升】
Ⅰ 知識(shí)與技能
1.小球從離地140m的高處自由下落，則小球在下落開(kāi)始后的連續(xù)三個(gè)2s時(shí)間內(nèi)的位移大小之比是
A．1:3:5 B.1:3:3 C.4:12:9 D.2:2:1
2.在輕繩的兩端各拴一個(gè)小球，一人用手拿著繩一端的小球站在三層樓的陽(yáng)臺(tái)上，放手讓小球自由下落，兩小球相繼落地的時(shí)間差為△t；如果站在四層樓的陽(yáng)臺(tái)上，同樣放手讓小球自由下落，則小球相繼落地的時(shí)間差將
A．不變 B.變大 C.減小 D.無(wú)法確定
3.圖4--1四個(gè)圖,其中可以表示兩個(gè)做自由落體運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)落地的υ—t圖像是 (t 表示落地的時(shí)刻)
4.從地面豎直上拋物體A,同時(shí)在某一高度處有一物體B自由下落,兩物體在空中相遇時(shí)的速率都是υ,則
A.物體A的上拋初速度大小是兩物體相遇時(shí)速率的2倍
B.相遇時(shí)物體A已上升的高度和物體B已下落的高度相同
C.物體A和物體B在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等
D.物體A和物體B落地速度相等
5.將一小球以初速度為V從地面豎直上拋后,經(jīng)4S小球離地面高度為6m,若要使小球豎直上拋后經(jīng)2S到達(dá)相同高度，(g取10m/s2)不計(jì)阻力，則初速度V 應(yīng)
A．大于V B.小于V C.等于V D.無(wú)法確定
Ⅱ 能力與素質(zhì)
6.某同學(xué)身高1.8m，在運(yùn)動(dòng)會(huì)上他參加跳高比賽，起跳后身體橫著越過(guò)1.8米高度的橫桿。據(jù)此可估算出他起跳時(shí)豎直向上的速度大約為（取g=10m/s ）
A.2m/s B.4 m/s C.6 m/s D.8 m/s
7.從某一高度相隔1s先后釋放兩個(gè)相同的小球甲和乙，不計(jì)空氣阻力，它在空中的任一時(shí)刻
A．甲、乙兩球的距離越越大，甲、乙兩球速度之差越越大
B．甲、乙兩球距離始終保持不變，甲、乙兩球速度之差保持不變
C．甲、乙兩球距離越越大，但甲、乙兩球速度之差保持不變
D．甲、乙兩球距離越越小，甲、乙兩球速度之差越越小
8．自地面將一物體豎直上拋，初速度大小為20m/s.當(dāng)它的位移為15m時(shí)，經(jīng)歷的時(shí)間和運(yùn)動(dòng)速度分別為（g取10m/s，不計(jì)空氣阻力，取豎直向上為正方向）
A．1s,10m/s B．2s,15m/s C．3s,-10m/s D．4s,-15m/s
9．某中學(xué)高一年級(jí)在“研究性學(xué)習(xí)”活動(dòng)中，有一小組的研究題是“測(cè)定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭” ，經(jīng)該組成員討論研究，設(shè)計(jì)出多種方案之一為“利用水滴下落測(cè)重力加速度g”，具體操作步驟如下：（1）讓水滴落到墊起的盤(pán)子里，細(xì)心地調(diào)整水龍頭的閥門(mén)，讓水一滴一滴地流出（等時(shí)間間隔），同時(shí)調(diào)整盤(pán)子墊物的厚度，使一個(gè)水滴碰到盤(pán)子時(shí)恰好有另一個(gè)水滴從水龍頭開(kāi)始下落（此時(shí)刻速度為零），而且空中還有一個(gè)正在下落的水滴；（2）用秒表測(cè)時(shí)間，以第一個(gè)水滴離開(kāi)水龍頭時(shí)開(kāi)始記時(shí)，測(cè)第N個(gè)水滴落至盤(pán)中，共用時(shí)間為T(mén)；（3）用米尺測(cè)出水龍頭滴水處到盤(pán)子的豎直距離h。不計(jì)空氣阻力。求：①第一滴水滴剛到盤(pán)子時(shí)，第二滴水離開(kāi)水龍頭的距離S。②當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭。
專題二 物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條 運(yùn)動(dòng)的合成與分解
【考點(diǎn)透析】
一、本專題考點(diǎn)： 物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條為II類要求，運(yùn)動(dòng)的合成與分解為1類要求。
二、理解和掌握的內(nèi)容
1．曲線運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn):運(yùn)動(dòng)軌跡是曲線，曲線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻的即時(shí)速度方向，就是過(guò)曲線上該點(diǎn)的切線方向。曲線運(yùn)動(dòng)一定是變速運(yùn)動(dòng)。
2．物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條：由于物體的速度方向不斷變化，因此物體的受的合外力及它產(chǎn)生的加速度的方向跟它的速度方向不在一條直線上。
3．處理曲線運(yùn)動(dòng)的基本方法：運(yùn)動(dòng)的合成與分解。理解以下幾點(diǎn)：
（1）運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性
一個(gè)物體可以同時(shí)參與兩種或兩種以上的運(yùn)動(dòng)，而每一種運(yùn)動(dòng)都不因?yàn)槠渌\(yùn)動(dòng)的存在而受到影響，運(yùn)動(dòng)是完全獨(dú)立的。物體的運(yùn)動(dòng)是這幾個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。
（2）運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性
若一個(gè)物體同時(shí)參與幾個(gè)運(yùn)動(dòng)，合運(yùn)動(dòng)與各分運(yùn)動(dòng)是在同一時(shí)間內(nèi)進(jìn)行的，它們之間不存在先后的問(wèn)題。
（3）運(yùn)動(dòng)的合成法則
描述運(yùn)動(dòng)的量有位移（s）、速度（v）、加速度（a），它們都是矢量，其合成法則都是平行四邊法則。如圖4—2
圖4—2
兩分運(yùn)動(dòng)垂直或正交分解后的合成滿足：
（4）運(yùn)動(dòng)的分解是合成的逆運(yùn)算，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中一般要根據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的實(shí)際效果分解。已知分運(yùn)動(dòng)求合運(yùn)動(dòng)，叫做運(yùn)動(dòng)的合成；已知合運(yùn)動(dòng)求分運(yùn)動(dòng)，叫做運(yùn)動(dòng)的分解。
分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)是一種等效替代關(guān)系，運(yùn)動(dòng)的合成和分解是研究曲線運(yùn)動(dòng)的一種基本方法。
【例題精析】
例1 如圖4—3（甲）所示，物體在恒力F作用下沿曲線從A運(yùn)動(dòng)到B，這時(shí)突然使它所受的力方向變而大小不變（即由F變?yōu)?F）。在此力作用下，物體以后的運(yùn)動(dòng)情況，下列說(shuō)法正確的是:
A．物體不可能沿曲線Ba運(yùn)動(dòng) B．物體不可能沿直線Bb運(yùn)動(dòng)
C．物體不可能沿曲線Bc運(yùn)動(dòng) D．物體不可能沿原曲線B返回A
解析: 物體在A點(diǎn)時(shí)的速度 沿A點(diǎn)的切線方向，物體在恒力F作用下沿曲線AB運(yùn)動(dòng)，此力F必有垂直于 的分量，即F力只可能為圖4—3（乙）中所示的各種方向之一，當(dāng)物體到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，瞬時(shí)速度 沿B點(diǎn)的切線方向，這時(shí)受力F?=-F，即F?力只可能為圖中所示的各種方向之一；可知物體以后只可能沿曲線Bc運(yùn)動(dòng)，所以本題的正確答案是A、B、D。
例題2 一艘小艇從河岸的A處出發(fā)渡河，小艇保持與河岸垂直的方向行駛，經(jīng)過(guò)10min到達(dá)正對(duì)岸下游120m的C處，如圖4—4所示，如果小艇保持原的速度逆水斜向上游成θ角方向行駛，則經(jīng) 過(guò)12.5min恰好到達(dá)正對(duì)岸的B處，求河寬及水流的速度。
分析與解答：設(shè)河寬為d，河水流速為v ，船速為v ，船兩次運(yùn)動(dòng)速度合成如圖4—5所示，依題意有：
①
BC= ②
③
由②可得 由①可得 故 河寬
說(shuō)明：對(duì)小艇渡河的兩種典型情況，要能熟練地畫(huà)出其運(yùn)動(dòng)的合成的矢量圖，并能用它解題。
思考與拓寬：設(shè)小船相對(duì)靜水的速度為 ，水流的速度為 ，河寬為d，分兩種情況討論小船渡河最短時(shí)間及最短航程：
（1） > （2） <
答案：在第（1）種情況中，最短時(shí)間 ，此時(shí)船頭與河岸垂直；最短航程 ，此時(shí)船頭指向上游與河岸夾某一角度。在第（2）種情況中，最短時(shí)間 ，此時(shí)船頭與河對(duì)岸垂直；最短航程 ；此時(shí)船的實(shí)際速度與兩個(gè)分速度的關(guān)系如圖4—6所示，其中 與 垂直, 且OB為小船的最短航程。
例3 如圖4—7所示，用繩牽引小船靠岸，若收繩的速度為v ,在繩子與水平方向夾角為α的時(shí)刻，船的速度v有多大？
解析：船的速度v的方向就是合運(yùn)動(dòng)的速度方向，由于這個(gè)v產(chǎn)生兩個(gè)效果：一是使繩系著小船的一端沿繩拉方向以速率v 運(yùn)動(dòng)，二是使繩的這端繞滑輪作順時(shí)針?lè)较虻膱A周運(yùn)動(dòng)，那么合速度v應(yīng)沿著繩子的牽引方向和垂直于繩子的方向分解
（如圖4—8），從圖中易知v=
物體拉繩或繩拉物體運(yùn)動(dòng)的分解，一般分解為沿繩方向的運(yùn)動(dòng)和垂直方向的運(yùn)動(dòng)，各點(diǎn)處沿繩方向上速度大小相等。
在進(jìn)行速度分解時(shí)，首先要分清合速度與分速度，合速度就是
物體實(shí)際運(yùn)動(dòng)的速度。物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)可看作那些分運(yùn)動(dòng)的疊加，找出相應(yīng)的分速度。在上述問(wèn)題中，若不對(duì)船的運(yùn)動(dòng)認(rèn)真分析，就很容易得出v =v cosθ的錯(cuò)誤結(jié)果。
【能力提升】
Ⅰ 知識(shí)與技能
1．關(guān)于互成角度的兩個(gè)初速度不為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，下述說(shuō)法正確的是
A．一定是直線運(yùn)動(dòng) B．一定是拋物線運(yùn)動(dòng)
C．可能是直線運(yùn)動(dòng)，也可能是拋物線運(yùn)動(dòng) D．以上說(shuō)法都不對(duì)。
2．一質(zhì)點(diǎn)在某段時(shí)間內(nèi)做曲線運(yùn)動(dòng)，則在這段時(shí)間內(nèi)
A．速度一定在不斷地改變，加速度也一定不斷地改變
B．速度一定在不斷地改變，加速度可以不變
C．速度可以不變，加速度一定不斷地改變
D．速度可不變，加速度也可以不變
3．一物體在幾個(gè)不在同一直線上的恒力作用下處于平衡狀態(tài)，現(xiàn)突然撤去其中一個(gè)力，而其它各力保持不變，則物體以后的運(yùn)動(dòng)可能是
A．勻加速直線運(yùn)動(dòng) B．勻減速直線運(yùn)動(dòng) C．勻變速曲線運(yùn)動(dòng) D．勻速圓周運(yùn)動(dòng)
4．有一小汽車從半徑為R的拱橋上的A點(diǎn)以恒定的速率運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，如圖4—9所示，試從以下說(shuō)法中選出正確答案
A．汽車所受的合外力為零
B．汽車在A、B兩處的速 度變化率為零
C．汽車在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持動(dòng)量不變
D. 車所受合外力做功為零
5．小船在靜水中速度為v，今小船要渡過(guò)一條河流，渡過(guò)時(shí)小船垂直對(duì)岸劃行。若小船劃行至河中間時(shí)，河水流速突然增大，則渡河時(shí)間與預(yù)定時(shí)間相比將
A．增長(zhǎng) B．不變 C．縮短 D．無(wú)法確定
6．人在靜水中速度為3km/h,現(xiàn)在他在流速為1.5 km/h的河水中沿不同的方向從O點(diǎn)游到彼岸，這些不同方向與A岸的夾角分別為
A．30° B．60° C．90° D．120°
此人要以最短時(shí)間游到彼岸，應(yīng)選的方向是4-10中的哪一個(gè)？
Ⅱ 能力與素質(zhì)
7．在抗洪搶險(xiǎn)中，戰(zhàn)士駕馭 摩托艇救人，假設(shè)江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度為v ，摩托艇在靜水中的航速為v ，戰(zhàn)士救人的地點(diǎn)A離岸邊最近處O的距離為d， 戰(zhàn)士想在最短時(shí)間內(nèi)將人送上岸，則摩托艇登陸的地點(diǎn)離O點(diǎn)的距離為
A． B．0 C． D．
8．兩個(gè)寬度相同但長(zhǎng)度不同的臺(tái)球框固定在水平面上，從兩個(gè)框的長(zhǎng)邊同時(shí)以相同的速度分別發(fā)出小球A和B，如圖4-11所示，設(shè)球與框邊碰撞時(shí)無(wú)機(jī)械能損失，不計(jì)摩擦，則兩球回到最初出發(fā)的框邊的先后是
A．A球先回到出發(fā)框邊；
B．B球先回到出發(fā)框邊；
C．兩球同時(shí)回到出發(fā)框邊；
D．因兩框長(zhǎng)度不明，故無(wú)法確定哪一個(gè)球先回到出發(fā)框邊。
9．如圖4-12所示，為一勻強(qiáng)電場(chǎng)，實(shí)線為電場(chǎng)線，一個(gè)帶電粒子射入該電場(chǎng)后，留下一條虛線所示的經(jīng)跡，途經(jīng)a點(diǎn)和b點(diǎn)，則下面判斷正確的是：（設(shè)由a運(yùn)動(dòng)到b）（ ）
A．b點(diǎn)的電勢(shì)高于a點(diǎn)的電勢(shì)
B．粒子在a點(diǎn)的動(dòng)能大于粒子在b點(diǎn)的動(dòng)能
C．粒子在b點(diǎn)的電勢(shì)能大于粒子在a點(diǎn)的電勢(shì)能
D．該勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)方向向左
10．如圖4-13所示，在高為H的光滑平臺(tái)上有一物體用繩子跨過(guò)定滑輪C，由地面上的人以均勻速度v 向右拉動(dòng)，不計(jì)人的高度，當(dāng)人從地面上平臺(tái)的邊緣A處向右行走距離s到過(guò)B處時(shí)，物體的速度v= ，物體移動(dòng)的距離為s =
專題三 重力作用下運(yùn)動(dòng)—平拋運(yùn)動(dòng)
【考點(diǎn)透析】
一、本專題考點(diǎn)： 本專題為II類要求，必須熟練掌握解決平拋運(yùn)動(dòng)的基本方法。
二、理解和掌握的內(nèi)容
1．平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)：以水平初速度拋出的物體只在重力作用下的運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)僅受重力的作用，其運(yùn)動(dòng)的加速度為重力加速度。運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線，其運(yùn)動(dòng)性質(zhì)為勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。
2．處理方法：運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解，把其中分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)，如圖4—14所示。
在x方向：vx=v0， x= v0t
在y方向：vy=gt y= gt2
設(shè)在t時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，則其速度與位置分別為：速度 與 的夾角 ；對(duì)o點(diǎn)的位移 ， 與 軸正方向的夾角
3．難點(diǎn)釋疑（1）平拋運(yùn)動(dòng)加速度恒定，是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，速度隨時(shí)間均勻變化，即在任意相等的時(shí)間內(nèi)，速度變化量相等。
（2）平拋運(yùn)動(dòng)可以分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)。這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)同時(shí)存在，按各自的規(guī)律獨(dú)立進(jìn)行。水平初速度大小不會(huì)影響豎直方向的分運(yùn)動(dòng)，一般情況下，豎直方向的分運(yùn)動(dòng)決定著平拋物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。
【例題精析】
例題1 如圖4—15所示，斜面傾角為300，小球從A點(diǎn)以初速度v0水平拋出，恰好落到斜面B點(diǎn)，求：①AB間的距離；②物體在空中飛行的時(shí)間；③從拋出開(kāi)始經(jīng)多少時(shí)間小球與斜面間的距離最大？
解析：①、②由題意且設(shè)AB長(zhǎng)為 ,得：
解得：
③將v0和重力加速度g沿平行于斜面和垂直于斜面方向正交分解圖如圖4—16所示，則當(dāng)物體在垂直于斜面方 向速度為零時(shí)與斜面距離最大，即：
所以，
本題中利用了斜面的傾角找到了小球落到斜面時(shí)兩個(gè)方向上的位移關(guān)系，在實(shí)際題目中已知的角度有時(shí)告訴的是位移關(guān)系，有時(shí)是速度關(guān)系，解題時(shí)要注意具體問(wèn)題具體分析。如在本題中當(dāng)小球與斜面之間的距離最大時(shí)，可知小球的速度方向定與斜面平行即速度方向與水平方向的夾角為300，，如圖4—17所示，此時(shí)小球的豎直方向的分速度vy=v0tan300，又由vy=gt 可求得
思考拓寬：某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移與初速度方向的夾角α，速度與初速度方向的夾角θ的關(guān)系為tanθ = 2tanα。因此，在分析問(wèn)題時(shí)既要會(huì)區(qū)分兩個(gè)角度，又要會(huì)利用二者之間的關(guān)系。如下題：如圖4-18中上圖所示，在傾角為37°的斜面底端正上方高h(yuǎn) 處平拋一物體，該物體落到斜面上的速度方向正好與斜面體的斜面垂直， 則物體拋出時(shí)的初速度為 （重力加速為g）
簡(jiǎn)析：由已知，小球打在斜面上的速度v方向與斜面垂直即v與水平方向的夾角為
53°，如圖4-19中下圖，設(shè)小球打到斜面上水平方向的位移為x，豎直方向的位移為y，所以有： ，由圖示幾何關(guān)系
由以上二式解得
小球在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，得
所以
故所求
例題2 在研究平拋運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)中，用一張印有小方格的紙記錄軌跡，小方格的邊長(zhǎng)L=1.25cm,若小球在平拋運(yùn)動(dòng)途中的幾個(gè)位置如圖4-20中的a、b、c、d所示，則小球平拋的初速度的計(jì)算式為v0= (用L、g表示)，其值是 （取g=9.8m/s2）
解析：做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，相鄰相等時(shí)間時(shí)間隔位移差是一個(gè)常數(shù)，即
平拋物體，豎直方向符合上式。由題意知，a與b、b與c、c與d水平方向的位移相等，即時(shí)間間隔相同，有：
豎直方向：
水 平方向：
代入數(shù)值得：v0=0.7m/s
錯(cuò)解：很多同學(xué)解此題時(shí)，幾乎是下意識(shí)地將 點(diǎn)作為拋出點(diǎn)由 及 求得 錯(cuò)誤結(jié)果。
思考與拓寬：從上面的解法中可看出，a點(diǎn)不是拋出點(diǎn)，那么拋出點(diǎn)在何處呢？
解：設(shè)拋出點(diǎn)離a點(diǎn)的水平距離為x0，豎上距離為y0，從拋出到a點(diǎn)時(shí)間為t0,則a點(diǎn)豎直方向速度
求得 所以
即拋出點(diǎn)的坐標(biāo)為 （x軸正方向?yàn)?，y軸正方向豎直向下）
【能力提升】
Ⅰ 知識(shí)與技能
1．如圖4—21所示，以9.8m/s的水平初速度v0拋出的物體，飛行一段時(shí)間后，垂直撞在傾角θ為300斜面上，可知物體完成這段飛行的時(shí)間是
A． B． C． D．
2．一架飛機(jī)水平地勻速飛行，從飛機(jī)上每隔1s釋放一個(gè)鐵球，先后共放4個(gè)，若不計(jì)空氣阻力，則4個(gè)球
A．任何時(shí)刻總是排成拋物線，它們的落地點(diǎn)是等間距的。
B．任何時(shí)刻總是排成拋物線，它們的落地點(diǎn)是不等間距的
C．在空中任何時(shí)刻總在飛機(jī)下方排成豎直的直線，它們的落地點(diǎn)是等間距的
D．在空中任何時(shí)刻總在飛機(jī)正下方排成豎直的直線，它們的落地點(diǎn)是不等間距的
3．如圖4—22所示，火車廂在水平軌道上以速度v向西作勻速直線運(yùn)動(dòng)，車上有人相對(duì)車廂為u的速度向東水平拋出一小球，已知v>u，站在地面上的人看到小球的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)是（圖中箭頭表示列車運(yùn)動(dòng)的方向）
4．如圖4—23所示，斜面上有a、b、c、d四個(gè)點(diǎn)，ab=bc=cd，從a點(diǎn)正上方的O點(diǎn)以速度v水平拋出一個(gè)小球，它落在斜面上b 。若小球從O點(diǎn)以速度2v水平拋出，不計(jì)空氣阻力，則它落在斜面上的
A．b與c之間的某上點(diǎn) B．c點(diǎn)
C．c與d之間的某點(diǎn) D．d點(diǎn)
5．如圖4—24所示，從傾角為θ的斜面頂端拋出一個(gè)小球，落在斜面上某處，那么小球落在斜面上的速度與斜面的夾角α，則α為
A．不可能等于900 B．隨初速度增大而增大
C．隨初速度增大而減小 D．與初速度大小無(wú)關(guān)
6．對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)（不計(jì)空氣阻力， g為已知），下列條中可確定物體飛行時(shí)間的是
A．已知水平位移 B．已知下落高度
C．已知初速度 D．已知位移的大小和方向
7．小球由傾角為300的斜面上某一點(diǎn)平拋，初動(dòng)能為6J，它落到斜面上時(shí)動(dòng)能為 J
8．飛機(jī)以恒定的速度v沿水平方向飛行，高度為200m。在飛行過(guò)程中釋放一炸彈，經(jīng)過(guò)30s后飛行員聽(tīng)見(jiàn)炸彈落地的爆炸聲，假設(shè)爆炸聲向空間各個(gè)方向的傳播速度都為330m/s，炸彈受到的空氣阻力可以忽略。求該飛機(jī)的飛行速度v
9．如圖4-25所示，一水平放置的平行板電容器的極板長(zhǎng)為 ，板間距離為d，
離極板右端距離為S處有一豎直放置熒光屏，現(xiàn)讓兩極板帶上等量異種電荷，有一束帶正電的粒子（不計(jì)重力）沿兩極板之間中線且平行極板從左端射入，從下極板右端飛出電場(chǎng)。設(shè)
極板間中線交熒光屏于O點(diǎn)，求粒子擊中熒光屏處離O點(diǎn)的距離y。
10．如圖4-26所示，一個(gè)圓柱器的內(nèi)壁是光滑的，圓柱高為h，直徑為 d，一小球從柱的頂端A處直徑方向水平射出，在B處和器壁發(fā)生碰撞（碰撞中無(wú)機(jī)械能損失）后被彈射回，如此反復(fù)整數(shù)次后落到容器底部。設(shè)水平射出的初速度為v ，求小球在容器中彈射的次數(shù)。
專題四 圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及處理方法
【考點(diǎn)透析】
一、本專題考點(diǎn)： 本專題為II類要求。不要求推導(dǎo)向心力公式。
二、理解和掌握的內(nèi)容
1.描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量:（1）線速度：是用描述質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)快慢的物理量，是矢量，方向：沿質(zhì)點(diǎn)在圓弧上的點(diǎn)的切線方向；大�。� （s是t時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)通過(guò)的弧長(zhǎng)）.
（2）角速度：用描述質(zhì)點(diǎn)繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢，其大�。� （rad/s），其中ф是連接質(zhì)點(diǎn)和圓心的半徑在時(shí)間t內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度。
（3）周期與頻率：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間叫做周期，用T表示。做圓周運(yùn)動(dòng)的物體單位時(shí)間內(nèi)沿圓周繞圓心轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)，叫做頻率，也叫轉(zhuǎn)速，用f表示。
以上四量的關(guān)系：T= ，ω= πrf=ωr
注意：T、f、r三個(gè)量中任一個(gè)確定，其余兩個(gè)也就確定了。但 還是和半徑r有關(guān)。
（4）向心加速度：是用描述質(zhì)點(diǎn)速度方向改變快慢的物理量，是矢量。
大小：
方向：總是指向圓心，方向時(shí)刻在變化，不論a的大小是否變化，a都是個(gè)變加速度。因此，做圓周運(yùn)動(dòng)的物體一定是在做變加速曲線運(yùn)動(dòng)。
（5）向心力：是根據(jù)其作用效果命名的，向心力產(chǎn)生向心加速度，只改變線速度的方向，不改變速度的大小。因此，向心力對(duì)期待圓周運(yùn)動(dòng)的物體不做功。
大�。篎=
方向：總是沿半徑指向圓心，時(shí)刻在變化，即向心力是變力。
2．圓周運(yùn)動(dòng)：（1）勻速圓周運(yùn)動(dòng)：①特點(diǎn)：線速度的大小恒定，角速度、周期和頻率都是恒定不變的，向心加速度和向心力的大小也是恒定不變的。②性質(zhì)：是速度大小不變而速度方向時(shí)刻在變的變速曲線運(yùn)動(dòng)，并且是加速度大小不變、方向時(shí)刻變化的變加速曲線運(yùn)動(dòng)。③做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條：物體所受的合外力充當(dāng)向心力，其大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心。
（2）一般的圓周運(yùn)動(dòng)：即非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度大小有變化，向心力和向心加速度的大小也隨著變化，向心力和向心加速度公式中的速度應(yīng)為質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度。
3．處理圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的基本方法：（1）從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度：會(huì)分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，會(huì)確定描述其運(yùn)動(dòng)的各個(gè)參量之間的關(guān)系，理解并會(huì)應(yīng)用圓周運(yùn)動(dòng)的周期性分析實(shí)際問(wèn)題。
（2）從動(dòng)力學(xué)角度：會(huì)根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律建立動(dòng)力學(xué)方程，通過(guò)正確的受力分析，明確什么力充當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。
4．難點(diǎn)釋疑：（1）在處理傳動(dòng)裝置的各物理量時(shí)，要抓住同軸的各質(zhì)點(diǎn)具有相同的角速度，在傳動(dòng)皮帶及輪子的邊緣上的點(diǎn)具有相同的線速度，如圖4-27所示，大輪半徑為小輪半徑的2倍，A、C分別為兩輪邊緣上的點(diǎn)，B到圓心的距離為大圓半徑的一半，由上述結(jié)論可知，A、B具在相同的角速度，A、C具有相同的線速度， =ωr，A、B線速度之比為2:1，A、C角速度之比為1:2
（2）向心力不是和重力、彈力、摩擦力相并列的一種力，是根據(jù)力的作用效果命名的指向圓心的合外力，在分析做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受力情況時(shí)，切不可在物體的相互作用力（重力、彈力、摩擦力、萬(wàn)有引力）以外再添加一個(gè)向心力。
【例題精析】
例1 如圖4-28所示一圓盤(pán)可繞一通過(guò)圓盤(pán)中心O且垂直于盤(pán)面的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在圓盤(pán)上放置一木塊，木塊隨圓盤(pán)一起做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)
A．木塊受到圓盤(pán)對(duì)它的摩擦力，方向背離圓盤(pán)中心
B．木塊受到圓盤(pán)對(duì)它的摩擦 力，方向指向圓盤(pán)中心
C．因?yàn)槟緣K隨圓盤(pán)一起運(yùn)動(dòng)，所以木塊受到圓盤(pán)對(duì)它的摩擦力，方向與木塊的運(yùn)動(dòng)方向相同。
D．摩擦力總是阻礙物體的運(yùn)動(dòng)，所以木塊受到圓盤(pán)對(duì)它的摩擦力，方向與木塊的運(yùn)動(dòng)方向相反。
解析：相對(duì)地面說(shuō)，木塊是做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的，必定受到其它物體作用于它的沿圓周半徑指向圓心的合外力作用，且此合外力充當(dāng)向心力，現(xiàn)在水平方向木塊只可能受到圓盤(pán)作用于它的摩擦力，所以選項(xiàng)B是正確的，其余錯(cuò)誤。
木塊隨盤(pán)一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，假如摩擦力突然消失，對(duì)地說(shuō)，木塊由于慣性將沿圓周的切線方向飛出，而對(duì)盤(pán)說(shuō)木塊是沿半徑向外運(yùn)動(dòng)，即木塊相對(duì)于圓盤(pán)有向外運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，圓盤(pán)作用于木塊的摩擦力的方向是沿盤(pán)半徑向里的。故A不對(duì)
力不是運(yùn)動(dòng)的原因，力的方向也不一定與物體的運(yùn)動(dòng)方向一致，但力的方向與加速度方向總是相同的。木塊隨盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度方向指圓心，而不是沿切線方向，故C不對(duì)。
“摩擦力總是阻礙物體運(yùn)動(dòng)”這句話本身就不正確。正確的說(shuō)法是摩擦力的方向與相互接觸的物體間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的方向相反。木塊有相對(duì)盤(pán)向外運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，因此它受的摩擦力是沿半徑方向向里的。故D不對(duì)。
本題重點(diǎn)考查學(xué)生是否理解物理概念和物理規(guī)律的確切含義，能否鑒別關(guān)于概念、規(guī)律、條的似乎是而非的說(shuō)法。要求學(xué)生處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要用科學(xué)的物理眼光分析問(wèn)題，在實(shí)踐中理解物理知識(shí)。
思考拓寬：如圖4-29所示，水平轉(zhuǎn)臺(tái)上放著A、B、C三物塊，質(zhì)量分別為2m、m、m，離轉(zhuǎn)軸距離分別為R、R、2R，與轉(zhuǎn)臺(tái)動(dòng)摩擦因數(shù)相同，轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)時(shí)，其最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，下列說(shuō)法正確的是
A．若三物體均未滑動(dòng)，則C物向心加速度最大
B．若三物體均未滑動(dòng)，則B物受到的摩擦力最大
C．轉(zhuǎn)速增加，A比Ｂ先滑動(dòng)
D．轉(zhuǎn)速增加，C物先滑動(dòng)
答案：Ａ．Ｄ
例2 如圖4-30所示，、N是兩個(gè)共軸圓筒的橫
截面，外筒半徑為R，內(nèi)筒半徑比R小很多，可以忽略不計(jì)，筒的兩端是封閉的，兩筒之間成真空。兩筒以相同的速度ω繞其中軸線（圖中垂直于紙面）做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)從筒內(nèi)部可以通過(guò)窄縫s（與筒的軸線平行）不斷地向外射出兩種不同速率 和 的微粒，從s處射出時(shí)的初速度的方向都是沿筒的半徑方向，微粒到達(dá)N筒后就附著在N筒上，如果R、 、 都不變，而ω取某一合適的值，則
A．有可能使微粒落在筒上的位置都在a處一條與s縫平行的窄條上
B．有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一處如b處一條與s縫平行的窄條上
C．有可能使微粒落在N筒上的位置分別在某兩處如b處和c處與s縫平行的窄條上
D．只要時(shí)間足夠長(zhǎng)，N筒上將到處都落有微粒
解析 若共軸的和N不轉(zhuǎn)動(dòng)，從筒的縫s射出的粒子就應(yīng)該落在a處，若兩筒以相同的速度ω繞其中心軸做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，遇從s縫射出的微粒落在N筒上時(shí)對(duì)于a就應(yīng)偏轉(zhuǎn)了一定的角度。
設(shè) 、> ，速率為 的微粒落在N筒上的位置轉(zhuǎn)過(guò)的角度應(yīng)為
同樣，速率為 的微粒落在N筒上的位置轉(zhuǎn)過(guò)的角度
兩種微粒偏轉(zhuǎn)角度的差值為
欲使微粒落在N筒上同一條與s逢平行的窄條上，則需
(n= 1,2,3…)
若兩種微粒都落在N上正對(duì)s縫的a穿條，則應(yīng)
,
且應(yīng)滿足 > 條。
ω合適的取值范圍為：
若兩種微粒落在N筒上某兩處平行的窄條上，則應(yīng)滿足
△θ≠2л ，那么ω合適的取值為：
綜上所述，選取項(xiàng)（A）（B）（C）正確。
【能力提升】
Ⅰ 知識(shí)與技能
1.關(guān)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)下列說(shuō)法正確的是
A．勻速圓周運(yùn)動(dòng)屬于變速曲線運(yùn)動(dòng)
B．勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度是用描述線速度方向改變快慢的物理量
C．對(duì)于給定的勻速圓周運(yùn)動(dòng)、角速度、周期、轉(zhuǎn)速是不變量
D．勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度和向心力始終指向圓心，所以兩者的方向是不變的
2．某質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓周半徑為r，周期為T(mén)，若保持向心加速度的大小不變化，當(dāng)圓周半徑為4r時(shí)，運(yùn)動(dòng)周期為
A．4T B．2T C． D．12T
3．某質(zhì)以恒定速率沿圓弧從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，其速度方向改變了θ（弧度），AB的弧長(zhǎng)為s，質(zhì)點(diǎn)所受到的合外力為F，根據(jù)上述描述，可求出
A．質(zhì)點(diǎn)期做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R B．質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T
C．質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度的大小 D．質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能Ek
4．由上海飛往美國(guó)洛杉磯的飛機(jī)在飛越太平洋上空的過(guò)程中，如果保持飛行速度的大小和距離海面的高度均不變，以下說(shuō)法正確的是
A．飛機(jī)做的是勻速直線運(yùn)動(dòng)
B．飛機(jī)上的乘客對(duì)座椅壓力略大于地球?qū)Τ丝偷囊?br>C．飛機(jī)上的乘客對(duì)座椅的壓力略小于地球?qū)Τ丝秃鸵?br>D．飛機(jī)上的乘客對(duì)座椅的壓力為零
5．一個(gè)半徑R的紙質(zhì)圓筒，繞其中心軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為ω，一粒子彈沿AO方向打進(jìn)紙筒，從紙筒上的B點(diǎn)穿出，如圖4-31所示，從子彈打入紙筒的過(guò)程中，紙筒未轉(zhuǎn)夠一周，若AB弧所對(duì)的圓心角為θ，則子彈的速度大小υ應(yīng)是
A．ωR B．ωR/θ
C．2Rω/θ D．2Rω/（π-θ）
Ⅱ 能力與素質(zhì)
6．飛機(jī)以350km/h的速度在地球表面附近飛行，下列哪種情況飛機(jī)上的乘客可在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)看見(jiàn)太陽(yáng)不動(dòng)的停在空中？（已知地球半徑R=6400km,sin78°=0.978）
A．在北緯78°由東向西飛行 B．在北緯78°由西向東飛行
C．在北緯12°由東向西飛行 D．在北緯12°由西向東飛行
7．如圖4-32光滑的水平面上釘有兩枚鐵釘A和B相距0.1m，長(zhǎng)1m的柔軟細(xì)繩拴在A上，另一端系一質(zhì)量為0.5kg的小球，小球的初始位置在AB連線上A的一側(cè)，把細(xì)線拉緊，給小球以2m/s的垂直細(xì)線方向的水平速度使它做圓周運(yùn)動(dòng)。由于釘子B的存在，使線慢慢地纏在A、B上。
（1）．如果細(xì)線不會(huì)斷裂，從小球開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到細(xì)線完全纏在A、B上需要多長(zhǎng)時(shí)間？
（2）．如果細(xì)線的抗斷拉力為7N，從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到細(xì)線斷裂需經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間？
8．一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)桿，可以繞通過(guò)其一端的水平軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，桿最初在水平位置上，桿上距O點(diǎn) L處放一小物體m（可視為質(zhì)點(diǎn)），桿與小物體最初處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖4-33所示，如 桿忽然以角速度ω繞 O軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，問(wèn)ω取什么值時(shí)桿OA與小物體可再次相遇？
9．有一水平放置的圓盤(pán)，上面放一勁度系數(shù)為k的彈簧，彈簧一端固定于軸O上，另一端拴一根質(zhì)量為m的物體A，物體與盤(pán)面間最大靜摩擦力為 ，彈簧未發(fā)生形變，長(zhǎng)度為R0，如圖4-34所示，問(wèn)：
（1 ）．盤(pán)的轉(zhuǎn)速n0多大時(shí)，物體A開(kāi)始滑動(dòng)？
（2）．當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到2n0時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量是多少？
10．如圖4-35所示，汽車總質(zhì)量為1.5×104kg，以不變的速率先后駛過(guò)凹型路面和凸型路面。路面圓弧半徑均為15 m，如果路面的最大壓力不得超過(guò)2.0×105N，汽車的最大速率為多少？汽車以此最大速率運(yùn)行，則駛過(guò)此路面的最小壓力為多少？
專題五 豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)
【考點(diǎn)透析】
一、本專題考點(diǎn)：圓周運(yùn)動(dòng)及牛頓第二定律的應(yīng)用。
二、理解和掌握的內(nèi)容
1．豎直面內(nèi)的勻速率圓周運(yùn)動(dòng):物體所受合外力大小恒定,方向總指向圓心,充當(dāng)其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力;滿足勻速圓周運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律.
2．豎直面內(nèi)的變速率圓周運(yùn)動(dòng):具有周期性，速率、角速度、向心加速度及向心力隨時(shí)間變化。要會(huì)根據(jù)牛頓第二定律列最高點(diǎn)及最低點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程,會(huì)根據(jù)能量的觀點(diǎn)確定質(zhì)點(diǎn)的不同位置的狀態(tài)關(guān)系.
3．難點(diǎn)釋疑：豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)中物體的臨界狀態(tài)分析：
（1）細(xì)線模型：如圖4-36（甲），在長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕線下掛一質(zhì)量為m的小球，繞定點(diǎn)O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，其速度 至少多大？
設(shè)小球在最高點(diǎn)的速度為 ,受到細(xì)線對(duì)它的豎直向下的拉力T，受到向下的重力mg，由牛頓第二定律可得： mg=m -mg 0 即
小球在圓軌道最高點(diǎn)的速度至少應(yīng)為
與此相類似的情況還有小球沿豎直平面內(nèi)的光滑圓軌道的內(nèi)緣運(yùn)動(dòng)，飛行員在豎直平面內(nèi)作圓運(yùn)動(dòng)的物技表演，雜技“水流星”。
（2）細(xì)桿模型：如圖4-37（甲）在一長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)桿的一端拴一質(zhì)量為m的小球，繞桿的另一端在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)。小球能到達(dá)軌道最高點(diǎn)的最小速度為多大？
細(xì)線對(duì)小球只能有拉力作用，而細(xì)桿對(duì)小球不但可以有拉力作用，還可以有支持力作用，在圓軌道的最高點(diǎn)，當(dāng)細(xì)桿對(duì)小球豎直方向的支持力大小等于小球重力的大小時(shí)，小球受到的合力為零，則小球的線速度為零，即小球在圓軌道最高點(diǎn)的最小值為零。
汽車過(guò)凸形橋、小球在豎直平面內(nèi)的光滑圓管內(nèi)運(yùn)動(dòng)等都屬于這種情況。
【例題精析】
例1 如圖4-38所示，在電機(jī)距軸O為r處固定一質(zhì)量為m的鐵塊。電機(jī)啟動(dòng)后，鐵塊以角速度ω繞軸O勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則電機(jī)對(duì)地面的最大壓力和最小壓力之差為
解析：設(shè)鐵塊在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)，電機(jī)對(duì)其作用力分別為T(mén)1、T2，且都指向軸心，根據(jù)牛頓第二定律有：
在最高點(diǎn)：mg+T1=mω2r ①
在最低點(diǎn)：T2-mg= mω2r ②
電機(jī)對(duì)地面的最大壓力和最小壓力分別出現(xiàn)在鐵塊m位于最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)，且壓力差的大小為：
ΔN=T2+T1
由①②③式可解得：ΔN=2mω2r
思考拓寬：在（1）若m在最高點(diǎn)時(shí)突然與電機(jī)脫離，它將如何運(yùn)動(dòng)？
（2）當(dāng)角速度ω為何值時(shí)鐵塊在最高點(diǎn)與電機(jī)恰好無(wú)作用力？
（3）本題也可認(rèn)為是一電動(dòng)打夯機(jī)的原理示意圖。若電機(jī)的質(zhì)量為，則ω多大時(shí)，電機(jī)可以“跳”起？此情總下，對(duì)地面的最大壓力是多少？
例2．如圖4-39所示，一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細(xì)管的半徑大得多）。在圓管中有兩個(gè)直徑與細(xì)管內(nèi)相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）。A球的質(zhì)量為m1，B球的質(zhì)量顯m2，它們沿環(huán)形圓管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度都為 .設(shè)A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，B球恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)。若要此時(shí)兩球作用于圓管的合力為零，那么m1、m2、R與 應(yīng)滿足的關(guān)系式是
解析：A球在最低及B球在最高點(diǎn)的受力如圖4—46所示，設(shè)管對(duì)A、B兩球的作用力為NA、NB（設(shè)向下為正）則有：
對(duì)A：NA-m1g=m1 ①
且NA的方向必向上，由牛頓第三定律A球?qū)艿膲毫ο蛳�，為使A、B兩球?qū)艿膲毫Φ暮狭榱�，所以B對(duì)管的壓力方向必向上，管對(duì)B球的壓力必向下。
對(duì)B：NB+m2g=m2 ②
其中 為B球在最高點(diǎn)的速度，由機(jī)械能守恒定律： m2 = m2 +2m2gR ③
依題意：NA=NB，則有A、B對(duì)圓管的合力為0，整理得，m1、m2,R及 應(yīng)滿足關(guān)系式：（m1-m2） +(m1+5m2)g=0
這是一道圓周運(yùn)動(dòng)與機(jī)械能守恒定律的綜合題目，也是一道情景新穎的討論題，要求能 正確地對(duì)A、B進(jìn)行受力分析，判斷出A、B受到圓管對(duì)它的作用力的方向，列出正確的方程式，問(wèn)題便會(huì)迎刃而解。
思考拓寬：討論（1）在滿足題意的前提下， 須滿足的條是
討論（2）如果在B球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，B剛好與管無(wú)相互作用，其它條不變，設(shè)管的質(zhì)量為，則此時(shí)圓管對(duì)地面的壓力為
提示：（1）由題中分析解方程②③得
NB=m2( -5g)，NB方向向下，NB>0。可解得 >
（2）如B在最高點(diǎn)對(duì)管無(wú)作用力，即NB=0，則可解得 0= 。此時(shí)A在最低點(diǎn)對(duì)管的壓力大小等于NA=m1g.由平衡條及牛頓第三定律可得，管對(duì)地面的壓力N=g+6m1g
【能力提升】
Ⅰ 知識(shí)與技能
1．如圖4-40所示，細(xì)桿的一端與一小球相連，可繞過(guò)O點(diǎn)的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)�，F(xiàn)給小球一初速度，使它做圓周運(yùn)動(dòng)，圖中a、b分別表示小球軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，則桿對(duì)球的作用力可能是
A．a(chǎn)處為拉力，b處為拉力
B．a(chǎn)處為拉力，b處為推力
C．a(chǎn)處為推力，b處為拉力
D．a(chǎn)處為推力，b處為推力
2．質(zhì)量為m的小球被系在輕繩一端，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球受到空氣阻力的作用。設(shè)某一時(shí)刻小球通過(guò)軌道的最低點(diǎn)，此時(shí)繩子的張力為7mg，此后小球繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)半個(gè)圓周恰能通過(guò)最高點(diǎn)，則在此過(guò)程中小球克服空氣阻力做的功為
A． mgR B． mgR C． mgR D．mgR
3．一輛卡車在丘陵地勻速行駛，地形如4-41所示，由于輪胎太舊，途中爆胎，爆胎可能性最大的地段就是
A．a(chǎn)處 B．b處 C．c處 D．d處
4．輕桿一端固定在光滑水平軸O上，另一端固定一質(zhì)量為m的小球，如圖4-42所示，給小球一初速度，使其在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，且剛好能通過(guò)最高點(diǎn)P，下列說(shuō)法正確的是
A．小球在最高點(diǎn)對(duì)桿的力為零
B．小球在最高點(diǎn)對(duì)桿的作用力大小為mg
C．若增大小球的初速度，則在最高點(diǎn)時(shí)球?qū)U的力一定增大
D．若增大小球的初速度，則在最高點(diǎn)時(shí)球?qū)U的力可能增大
5．如圖4-43所示，質(zhì)量為m的小球，用長(zhǎng)為 的線懸掛在O點(diǎn)，在O點(diǎn)正下方 /2處有一光滑的釘子O?，把小球拉到與O?在同一水平線的位置，擺線被釘子攔住，將小球從靜止釋放，當(dāng)?shù)谝淮瓮ㄟ^(guò)最低點(diǎn)P時(shí)
A．小球速率突然減小
B．小球角速度突然減小
C．小球的向心加速度突然減小
D．?dāng)[線上的張力突然減小
Ⅱ 能力與素質(zhì)
6．如圖4-44所示，質(zhì)量為m的小球在豎直兩面內(nèi)的圓形軌道的內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)不脫離軌
道的臨界速度值是 ，當(dāng)小球以2 的速度經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力值是
A．0 B．mg C．3mg D．5mg
7．如圖4-45所示，一長(zhǎng)為2L的輕桿，兩端各固定一小球，A球質(zhì)量為，B球質(zhì)量為m，且> m，過(guò)桿的中點(diǎn)有水平光滑固定軸，桿可繞軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到豎直位置時(shí)，角速度為 ，A正好位于上端，B正好位于下端，則沿豎直方向，桿作用于固定軸的力的方向一定向上的條是
8．質(zhì)量為m，電量為+q的小球用一絕緣細(xì)線懸于O點(diǎn)，開(kāi)始時(shí)它在A、B之間回?cái)[動(dòng)，OA、OB與豎直方向的夾角均為，如圖4-46所示，（1）如果當(dāng)它擺動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)突然施加一豎直向上的、大小為E=mg/q的勻強(qiáng)電場(chǎng)，則此時(shí)線的拉力 ,（2）如果這一電場(chǎng)是在小球從A點(diǎn)擺到最低點(diǎn)C時(shí)突然加上去的，則當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)線的拉力
9．飛行員從俯沖狀態(tài)往上拉時(shí)，會(huì)發(fā)生黑視，第，一次是因?yàn)檠獕航档�，�?dǎo)致視網(wǎng)膜缺血，問(wèn)（1）血壓為什么會(huì)降低？（2）血壓在人體循環(huán)中所起的作用是什么？（3）為了使飛行員適應(yīng)這種情況，要在如圖4-47的儀器中對(duì)飛行員進(jìn)行訓(xùn)練，飛行員坐在一個(gè)垂直平面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的艙內(nèi)，要使飛行員受到的加速度a=6g，則轉(zhuǎn)速需為多少？
10．如圖4-48所示，小球A用不可伸長(zhǎng)的輕繩懸于O點(diǎn)，在O點(diǎn)的正下方有一固定的釘子，OB=y。初始時(shí)，小球A與O同水平面無(wú)初速釋放，繩長(zhǎng)為 ，為使球能繞B點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，求y的取值范圍。
專題六 萬(wàn)有引力定律 天體運(yùn)動(dòng)
【考點(diǎn)透析】
一、本專題考點(diǎn)： 本專題為II類要求。
二、理解和掌握的內(nèi)容
1.萬(wàn)有引力定律：（1）萬(wàn)有引力定律的內(nèi)容和公式：宇宙間的一切物體都是互相吸引的，兩個(gè)物體間的引力的大小，跟它們的質(zhì)量和乘積成正比，跟它們距離平方成反比，公式：
F=G 其中萬(wàn)有引力恒量G=6.67×10-11Nm2/kg2
（2）適用條：適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用。當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn)。均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r為兩球心之間的距離。
2．萬(wàn)有引力定律在天體運(yùn)動(dòng)研究中的應(yīng)用：
（1）基本方法：把天體的運(yùn)動(dòng)看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其所需向心力由萬(wàn)有引力提供。
G =m =mω2R=m m
應(yīng)用時(shí)可根據(jù)實(shí)際情況選用適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行分析或計(jì)算。
（2）天體質(zhì)量、密度ρ的估算：
測(cè)出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R和周期T，由G = 得
= 為天體的半徑。
當(dāng)衛(wèi)星沿天體表面繞天體運(yùn)行時(shí)，R=R0，則ρ=
3．重力和萬(wàn)有引力
重力是地面附近的物體受到地球的萬(wàn)有引力面產(chǎn)生的。物體的重力和地球?qū)υ撐矬w的萬(wàn)有引力差別很小，一般可認(rèn)為二者大小相等。即 mg0=G ,式中g(shù)0為地球表面附近的加速度，R0為地球的半徑。所以在求第一宇宙速度時(shí)，可以用m =G ，也可以用m =mg0.
【例題精析】
例1 在天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆彼此距離較近的星體稱為雙星，已知該兩星體質(zhì)量分別為1、2，它們之間距離為L(zhǎng)，求各自運(yùn)動(dòng)半徑及角速度？
解析：雙星體間彼此距離較近，存在著萬(wàn)有引力且距離不變，那么這兩顆星體一定繞著兩星連線上某一點(diǎn)（兩星體質(zhì)心位置）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)該點(diǎn)為O，則1O2應(yīng)始終在同一直線上，1與2的角速度ω應(yīng)相等，設(shè)1到O點(diǎn)距離為R，2到O點(diǎn)距離為L(zhǎng)-R有：
F引=G12/L2 ①
F引=1ω2•R=2ω2（L-R） ②
由②式得 R= L
由于①②式， =1ω2R，以代入，得
ω=
例2．利用下列哪組數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出地球的質(zhì)量
A．已知地球的半徑R地和地面的重力加速度g
B．已知衛(wèi)星繞地球勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r和周期T
C．已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r和線速度
D．已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度 和周期T
解析 選項(xiàng)A 設(shè)相對(duì)地面靜止的某一物體質(zhì)量為m，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力的關(guān)系得
G= =mg 解得 地=
選項(xiàng)B 設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量為m，根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力的關(guān)系得
G =mg 解得 地=
選項(xiàng)C 設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量為m，根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力的關(guān)系得
G =m 解得 地=
選項(xiàng)D 設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量為m，根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心的關(guān)系可得
以上兩式消r解得 地 =
綜上所述，該題的四個(gè)選項(xiàng)都是正確的，如果已知地球的半徑R地，且把地球視為球體，則地球的體積V= ，根據(jù) ρ= ，還可以計(jì)算出地球的平均密度ρ。上述計(jì)算質(zhì)量和密度的方法，也可用于計(jì)算其它天體的質(zhì)量和密度。
【能力提升】
Ⅰ 知識(shí)與技能
1．某人在一星球表面以速度V0豎直向上拋一物體，經(jīng)t秒后物體落回手中，若星球的半徑為R，那么至少要用多大的速度將物體沿星球表面拋出，才能使物體不現(xiàn)落回星球表面？
A． B． C． D．
2．宇宙飛船進(jìn)入一個(gè)圍繞太陽(yáng)運(yùn)行的近乎圓形的軌道運(yùn)動(dòng)，如果軌道半徑是地球軌道半徑的9倍，那么宇宙飛船繞太陽(yáng)運(yùn)行的周期是
A．3年 B．9年． C．27年 D．81年
3．月亮繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為T(mén)．軌道半徑為r，則由此可得地球質(zhì)量的表達(dá)式為 （萬(wàn) 有引力恒量為G）
4．登月火箭關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后在離月球表面112km的空中沿圓形軌道運(yùn)行周期為120.5分鐘，月球的半徑是1740 km，據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算月球的質(zhì)量為 kg.
5“黑洞”是愛(ài)因斯坦的廣義權(quán)對(duì)論中預(yù)言的一種特殊天體，它的密度極大，對(duì)周圍物質(zhì)（包括光子）有極強(qiáng)的吸引力，根據(jù)愛(ài)因斯坦理論，光子是有質(zhì)量的，光子到達(dá)黑洞表面時(shí)也將被吸入，最多恰能繞黑洞表面做圓周運(yùn)動(dòng)。根據(jù)天觀測(cè)，銀河系中心可能有一個(gè)黑洞，距該可能黑洞6.0×1012m遠(yuǎn)的星體正以2.0×106m/s的速度繞它旋轉(zhuǎn)，試估算該可能黑洞的最大半徑R= m(保留一位有效數(shù)字)。
Ⅱ 能力與素質(zhì)
6．人們認(rèn)為某些中子星（密度極大的恒星）每秒大約自轉(zhuǎn)一周，那么為使其表面上的物體能夠被吸引住而不致由于快速轉(zhuǎn)動(dòng)被“甩掉”，它的密度ρ= 。
（G=6.67×10-11Nm2/kg2,R地=6.4×103km，保留兩位有效數(shù)字）
7．某一物體在地球表面用彈簧秤得重160N。把該物體放在航天器中，若航天器以加速度a=g/2(g為地球表面的重力加速)垂直地面上升，這時(shí)再用同一彈簧秤秤得物體的視重為90N。忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，已知地球半徑為R，求此航天器距地面的高度。
8．在某星球上，宇航員用彈簧秤得質(zhì)量為m的砝碼重力為F，乘宇宙飛船在靠近該星球表面飛行，測(cè)得其環(huán)繞周期是T。根據(jù)上述各量，試求該星球的質(zhì)量。
9．站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個(gè)小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落到星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離L。若拋出時(shí)的初速度增大到2位，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為 L。已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬(wàn)有引力常數(shù)為G，求該星球的質(zhì)量。
10．兩個(gè)星球組成雙星，它們?cè)谙嗷ブg的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)�，F(xiàn)測(cè)得兩星中心距離為R，其運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)，求兩星的總質(zhì)量。
專題七 人造地球衛(wèi)星
【考點(diǎn)透析】
一、本專題考點(diǎn)：本專題為Ⅱ類要求。
二、理解和掌握的內(nèi)容
1．衛(wèi)星的繞行速度、角速度、周期與半徑R的關(guān)系：（1） G ， 得 ，
∴R越大， 越小。
（2）由G ， 得
∴R越大，ω越小。
（3）由G 得 T=
∴R越大，T越小。
2．三種宇宙速度
（1）第一宇宙速度（環(huán)繞速度）： =7.9km/s，人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度。
（2）第二宇宙速度（脫離速度）： =11.2km/s,使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度。
（3）第三宇宙速度（逃逸速度）： 3=16.7km/s,使物體掙脫太陽(yáng)引力束縛的最小發(fā)射擊速度。
3．地球同步衛(wèi)星
所謂地球同步衛(wèi)星，是相對(duì)于地面靜止的和地球自轉(zhuǎn)具有同周期的衛(wèi)星，T=24h。同步衛(wèi)星必須位于赤道正上方距地面高度h≈3.6×104km處。
4．難點(diǎn)釋疑：
（1）隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度和環(huán)繞運(yùn)行的向心加速度。
放于地面上的物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力是地球?qū)ξ矬w的引力和地面支持力的合力提供；而環(huán)繞地球運(yùn)行的衛(wèi)星所需的向心力完全由地球?qū)ζ涞囊μ峁蓚�(gè)向心力的數(shù)值相差很多，如質(zhì)量為1kg的物體在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力只有0.03N，而它所受地球引力約為9.8N。
對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向心加速度的計(jì)算方法也不同：物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度a1=ω2R0=（ ）2R0，式中T為地球自轉(zhuǎn)周期，R0為球半徑；衛(wèi)星繞地球環(huán)繞運(yùn)行的向心加速度a2= ，式中為地球質(zhì)量，r為衛(wèi)星與地心的距離。
（2）運(yùn)行速度和發(fā)射速度
對(duì)于人造地球衛(wèi)星，由G 得 = ，該速度指的是人造地球衛(wèi)星在軌道上的運(yùn)行速度，其大小隨軌道半徑的增大而減小。但由于人造地球衛(wèi)星發(fā)射過(guò)程要克服地球引力作功，增大重力勢(shì)能，所以將衛(wèi)星發(fā)射到離地球越遠(yuǎn)的軌道上所需要的發(fā)射速度越大。
（3）為何同步衛(wèi)星必須位于赤道正上方？由于同步衛(wèi)星相對(duì)于地面靜止，因此它必須做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的合外力必總是指向圓心，衛(wèi)星受到的合外力是地球?qū)λ娜f(wàn)有引力，故只有在赤道上方才能滿足這一條，衛(wèi)星才能穩(wěn)定運(yùn)行。
【例題精析】
例1 可以發(fā)射一顆這樣的人造地球衛(wèi)星，使其圓軌道
A．與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面同心圓
B．與地球表面上某一經(jīng)度線所決定的圓是共面同心圓
C．與地球表面上的赤道線是共面同心圓，且衛(wèi)星相對(duì)地球表面是靜止的
D．與地球表面一的赤道線是共面同心圓，但衛(wèi)星相對(duì)地球表面是運(yùn)動(dòng)的
【解析】 萬(wàn)有引力完全用于提供人造球衛(wèi)星繞地圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。A選項(xiàng)的情景中，萬(wàn)有引力在某一緯度面內(nèi)的一個(gè)分力提供向心力，萬(wàn)有引力的另一個(gè)分力會(huì)使衛(wèi)星軌道離開(kāi)這個(gè)平面；B選項(xiàng)的情景中，萬(wàn)有引力全部提供衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，使其軌道平面相對(duì)地心、兩極固定下，但由于地球不停地自轉(zhuǎn)，軌道平面不會(huì)固定于某一經(jīng)線決定的平面，選項(xiàng)A、B錯(cuò)。赤道軌道上衛(wèi)星受的引力全部提供向心力，除通信衛(wèi)采用“地球靜止軌道”外，赤道軌道上的其他衛(wèi)星都相對(duì)地球表面是運(yùn)動(dòng)的，選項(xiàng)C、D正確。
例2 發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí)，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后經(jīng)點(diǎn)火，使其沿橢圓軌道2運(yùn)行，最后再次點(diǎn)火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3。軌道1、2相切于Q點(diǎn)，軌道2、3相切于P點(diǎn)（如圖4-49），則衛(wèi)星分別在1，2，3軌道上正常運(yùn)行時(shí)，以下說(shuō)法正確的是
A．衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率
B．衛(wèi)星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度
C．衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的加速度大于它在軌道2上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的加速度
D．衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道3上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的加速度
【解析】 “ 相切”隱含著2、3軌道在切點(diǎn)P，2、1軌道在切點(diǎn)Q各有相同的彎曲程度（實(shí)質(zhì)是曲率半徑相同），即各有相同的瞬時(shí)軌道半徑。
由萬(wàn)有引力定律及牛頓第二定律有
導(dǎo)出
與ω都是r的遞減函數(shù)，故知B項(xiàng)對(duì)，A項(xiàng)錯(cuò)。a=G/r2,即加速度a亦是r的遞減函數(shù)，而衛(wèi)星處在切點(diǎn)時(shí)兩軌道瞬時(shí)運(yùn)行半徑相同，故知D項(xiàng)對(duì)、C項(xiàng)錯(cuò)
綜合得正確選項(xiàng)有B、D
思考與拓寬：試分析衛(wèi)星在軌道1上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能與在軌道3上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能的大小關(guān)系，衛(wèi)星在軌道1上運(yùn)行通過(guò)Q點(diǎn)時(shí)，如何動(dòng)作才能使衛(wèi)星進(jìn)入軌道2？
例3 已知物體從地球上的逃逸速度（第二宇宙速度） ，其中G、E、RE分別是引力常量、天體的質(zhì)量和半徑。已知G=6.67×10-11N•m2/kg2,c=2.9979×108m/s.求下列問(wèn)題：（1）逃逸速度大于真空中光速的天體叫做黑洞，設(shè)某黑洞的質(zhì)量等于太陽(yáng)的質(zhì)量=1.98×1030kg,求它的可能最大半徑（這個(gè)半徑叫shwarzchld半徑）；（2）在目前天觀測(cè)范圍內(nèi)，物質(zhì)的平均密度為10-27kg/m3,如果認(rèn)為我們的宇宙是這樣一個(gè)均勻大球體，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物體都不能脫離宇宙，問(wèn)宇宙的半徑至少多大？
【解析】（1）由題目所提供的信息可知，任何天體的均存在其所對(duì)應(yīng)的逃逸速度 ，其中、R為天體的質(zhì)量和半徑，對(duì)于黑洞模型說(shuō)，其逃逸速度大于真空中的光速，即 2>c,所以
R< =2.94×103(m)
即質(zhì)量為1.98×1030kg的黑洞的最大半徑為2.94×103m.
（2）把宇宙視為一普通天體，則其質(zhì)量為=ρ•V=ρ• ①
其中R為宇宙的半徑，ρ為宇宙的密度，則宇宙所對(duì)應(yīng)的逃逸速度為
②
由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c即， >c ③
則由以上三式可得R= =4.24×1010光年，即宇宙的半徑至少為4.24×1010光年。
【能力提升】
Ⅰ 知識(shí)與技能
1．月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為27天，則地球的同步衛(wèi)星到地球中心的距離r與月球中心到地球中心的距離R之比為
A． B． C． D．
2．如圖4-50中的圓a、b、c，其圓心均在地球的自轉(zhuǎn)軸線上，對(duì)衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)而言
A．衛(wèi)星的軌道可能為a
B．衛(wèi)星的軌道可能為b
C．衛(wèi)星的軌道可能為c
D．同步衛(wèi)星的軌道只可能為b
3．一顆人造地球衛(wèi)星以初速度 發(fā)射后繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若使發(fā)射速度為2 ，則該衛(wèi)星可能
A．繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期變大
B．繞地球運(yùn)動(dòng)，軌道變?yōu)闄E圓
C．不繞地球運(yùn)動(dòng)，成 為太陽(yáng)系的人造行星
D．掙脫太陽(yáng)引力的束縛，飛到太陽(yáng)系以外的宇宙
4．地球上有兩位相距非常遠(yuǎn)的觀察者，都發(fā)現(xiàn)自己的正上方有一顆人造地球衛(wèi)星，相對(duì)自己靜止不動(dòng)，則這兩位觀察者的位置以及兩顆人造地球衛(wèi)星到地球中心的距離可能是
A．一人在南極，一人在北極，兩衛(wèi)星到地球中心的距離一定相等
B．一人在南極，一人在北極，兩衛(wèi)星到地球中心的距離可以不等，但應(yīng)成整數(shù)倍
C．兩人都在赤道上，兩衛(wèi)星到地球中心的距離一定相等
D．兩人都在赤道上，兩衛(wèi)星到地球中心的距離可以不等，但應(yīng)成整數(shù)倍
5．設(shè)想人類開(kāi)發(fā)月球，不斷把月球上的礦藏搬運(yùn)到地球上，假定經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間開(kāi)采后，地球仍可看作是均勻的球體，月球仍沿開(kāi)采前的圓周軌道運(yùn)動(dòng)，則與開(kāi)采前相比
A．地球與月球間的萬(wàn)有引力將變大
B．地球與月球間的萬(wàn)有引力將變小
C．月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期將變長(zhǎng)
D．月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期將變短
Ⅱ 能力與素質(zhì)
6．地球同步衛(wèi)星到地心的距離r可由r3= 求出。已知式中a的單位是m，b的單位是s，c的單位是m/s2則
A．a(chǎn)是地球半徑，b是地球自轉(zhuǎn)的周期，c是地球表面處的重力加速度
B．a(chǎn)是地球半徑，b是同步衛(wèi)星繞地心運(yùn)動(dòng)的周期，c是同步衛(wèi)星的加速度
C．a(chǎn)是赤道周長(zhǎng)，b是地球自轉(zhuǎn)的周期，c是同步 衛(wèi)星的加速度
D．a(chǎn)是地球半徑，b是同步衛(wèi)星繞地心運(yùn)動(dòng)的周期，c是地球表面處的重力加速度
7．某人造地球衛(wèi)星因受高空稀薄空氣的阻力作用，繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道會(huì)慢慢改變，每次測(cè)量中衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)可近似看作圓周運(yùn)動(dòng)，某次測(cè)量衛(wèi)星的軌道半徑為r1,后變?yōu)閞2。r2<r1，以E1、E2表示衛(wèi)星在這兩個(gè)軌道上的動(dòng)能，T1、T2表示衛(wèi)星在這兩個(gè)軌道上繞地球運(yùn)動(dòng)的周期，則
A．E2<E1，T2<T1 B．E2<E1，T2>T1
C．E2>E1，T2<T1 D．E2>E1，T2>T1
8．據(jù)觀測(cè)，某行星外圍有一環(huán)，為了判斷環(huán)是行星的連續(xù)物還是衛(wèi)星群，可以測(cè)出環(huán)中各層的線速度V的大小與這層至行星中心的距離R之間的關(guān)系
A．若V與R成正比，則環(huán)是連續(xù)物
B．若V2與R成正比，則環(huán)是衛(wèi)星群
C．若V與R成反比，則環(huán)是連續(xù)物
D．若V2與R成反比，則環(huán)是衛(wèi)星群
9．在地表附近某一高度處水平發(fā)射甲、乙兩顆衛(wèi)星，如圖4-51所示，甲繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)，乙繞地球作橢圓運(yùn)動(dòng)。E、F兩點(diǎn)分別在兩軌道上，且E點(diǎn)、F點(diǎn)和地心在一條直線上，由圖可知
A．發(fā)射甲衛(wèi)星的速度一定比了射乙衛(wèi)星的速度大
B．發(fā)射乙衛(wèi)星的速度一定大于7.9km/s
C．甲衛(wèi)星在E點(diǎn)的加速度一定比乙衛(wèi)星在F點(diǎn)的加速度大
D．甲衛(wèi)星在E點(diǎn)的速度一定比乙衛(wèi)星在F點(diǎn)的速度大
10．假設(shè)站在赤道某地的人，恰能在日落后4小時(shí)的時(shí)候，恰觀察到一顆自己頭頂上空被陽(yáng)光照亮的人造地球衛(wèi)星，若該衛(wèi)星是在赤道所在平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，又已知地球的同步衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍，試估算此人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的周期是多少？
效果驗(yàn)收
１．雨滴由靜止開(kāi)始下落，遇到水平方向吹的風(fēng)，下述說(shuō)法正確的是
A．風(fēng)速越大，雨滴下落的時(shí)間越長(zhǎng)
B．風(fēng)速越大，雨滴著地的速度越大
C．雨滴落地時(shí)間與風(fēng)速無(wú)關(guān)
D．雨滴落地速度與風(fēng)速無(wú)關(guān)
2．加速度不變的運(yùn)動(dòng)，
A．一定是直線運(yùn)動(dòng)
B．可能是直線運(yùn)動(dòng)，也可能是曲線運(yùn)動(dòng)
C．可能是勻速圓周運(yùn)動(dòng)
D．若初速度為零，一定是直線運(yùn)動(dòng)
3．宇航員在圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的航天器中會(huì)處于失重狀態(tài)，下述說(shuō)法正確的是
A．宇航員仍受重力作用 B．宇航員受力平衡
C．重力正好充當(dāng)宇航員圍繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力
D．重力仍產(chǎn)生加速度
4．由于地球自轉(zhuǎn)，地球上所有物體都隨地球一起運(yùn)轉(zhuǎn)，因此
A．我國(guó)各地的物體都具有相同的角速度
B．位于赤道地面上的物體的線速度最大（相對(duì)于地軸）
C．地球上所有物體的向心加速度方向都指向地球中心
D．地球表面物體都隨地球一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故都可看做是地球衛(wèi)星
5．一秒擺（T=2s）由地球表面移到某一星球表面，其周期變?yōu)?s，由此可知
A．該星球半徑為地球半徑的2倍
B．該星球半徑為地球半徑的4倍
C．該星球表面的重力加速度與地球表面重力加速度之比為1:4
D．該星球表面的重力加速度與地球表面重力加速度之比為1:2
6．對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)（不計(jì)空氣阻力，g為已知），下列條中可確定物體飛行時(shí)間的是
A．已知水平位移 B．已知下落高度
C．已知初速度 D．已知位移的大小和方向
7．如圖40-52河水流速V1，船在靜水中速度V2，現(xiàn)船橫渡河流，當(dāng)它分別沿AB和AC到達(dá)對(duì)岸，且AB、AC與河岸夾角α=β，設(shè)沿AB渡河時(shí)間t1，沿AC渡河時(shí)間t2，則有
A．t1>t2 B．t1=t2 C．t1<t2 D．無(wú)法確定
8．如圖4-53，粗糙水平轉(zhuǎn)臺(tái)以角速度ω勻速度轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)臺(tái)上有一質(zhì)量為m的物體，物體與轉(zhuǎn)臺(tái)軸心O間用長(zhǎng)L的細(xì)線連接，此時(shí)物體與轉(zhuǎn)臺(tái)處于相對(duì)靜止，設(shè)物體與轉(zhuǎn)臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ，現(xiàn)突然使轉(zhuǎn)臺(tái)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則
A．物體將以O(shè)為圓心，L為半徑做變速圓周運(yùn)動(dòng)到停止
B．物體能在轉(zhuǎn)臺(tái)上運(yùn)動(dòng)一周，在此一周內(nèi)摩擦力做功為0
C．物體在轉(zhuǎn)臺(tái)上運(yùn)動(dòng) 周后停止
D．轉(zhuǎn)臺(tái)停止后，物體做向心運(yùn)動(dòng)
9．已知月球的半徑為R，在月球表面以初速度υ0豎直上拋一小球，經(jīng)時(shí)間t落回到手中，如果在月球上發(fā)射一顆繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，以下說(shuō)法正確的是
A．衛(wèi)星線速度不可能大于 B．衛(wèi)星的加速度可能大于2υ0/t
C．衛(wèi)星的角速度不可能小于 D．衛(wèi)星的周期不可能小于
10．三個(gè)人造地球衛(wèi)星A、B、C在地球的大氣壓層外沿如圖4-54所示的方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知mA=mB<mc,則三個(gè)衛(wèi)星
A．線速度大小的關(guān)系是υA>υB=υC
B．周期TA<TB=TC
C．向心力大小的關(guān)系是FA=FB<FC
D．軌道半徑和周期的關(guān)系是
11．某一顆人造地球同步衛(wèi)星距地面的高度為h，設(shè)地球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，地面處重力加速度為g，則該同步衛(wèi)星的線速度的大小應(yīng)該為
A． B．
C． D．
12．對(duì)于人造地球衛(wèi)星（看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)）下列說(shuō)法正確的是
A．在同一軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星可以有不相同的線速度
B．在不同軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星可以有相同的線速度
C．衛(wèi)星的高度被確定，它的運(yùn)行周期就被確定
D．衛(wèi)星的運(yùn)行周期被確定，它的線速度就被確定
13．在粗糙水平木板上放一物塊，沿圖4-55所示的逆時(shí)針?lè)较蜃鲃蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，圓半徑為R，速率 ，ab為水平直徑，cd為豎直直徑。設(shè)運(yùn)動(dòng)中木板始終保持水平，物塊相對(duì)于木板靜止，則
A．物塊始終受四個(gè)力作用
B．只有在a、b、c、d四點(diǎn)，物塊受到的合外力才指向圓心
C．從a運(yùn)動(dòng)到b，物塊處于超重狀態(tài)
D．從b運(yùn)動(dòng)到a，物塊處于超重狀態(tài)
14．兩個(gè)靠近的天體稱雙星，它們以兩者連線上某點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)量分別為m1、m2。如圖4-56所示，以下說(shuō)法中正確的是
A．其角速度相同
B．線速度與其質(zhì)量成反比
C．向心力與其質(zhì)量成正比
D．軌道半徑與其質(zhì)量成反比
15．1999年5月10日，我國(guó)成功地發(fā)射了“一箭雙星”，將“風(fēng)云一號(hào)”氣象衛(wèi)星和“實(shí)驗(yàn)5號(hào)”科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星送入離地面870km的軌道�！帮L(fēng)云一號(hào)”可發(fā)送紅外氣象遙感信息，為我國(guó)提供全球氣象和空間環(huán)境監(jiān)測(cè)資料。這兩顆衛(wèi)星運(yùn)行速率約為
A．7.9km/s B．3.1km/s C．11.2km/s D．7.4km/s
16．將一個(gè)物體從某一高度以4m/s的速度豎直向上拋出，在落地前的最后1s內(nèi)通過(guò)的位移是3m，不計(jì)空氣阻力，g=10m/s。
求：（1）物體從拋出到落地的時(shí)間；
（2）拋出點(diǎn)距離地面的高度。
17．如圖4-57設(shè)滑雪運(yùn)動(dòng)員由a點(diǎn)沿水平方向沖出跳臺(tái)，在b點(diǎn)落地，a、b兩點(diǎn)直線距離為40m，ab連線與水平成300角，不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s2,求他沖出跳臺(tái)時(shí)的速度和空中飛行時(shí)間。
18．1999年11月20日，我國(guó)發(fā)射了“神舟”號(hào)載人航天試驗(yàn)飛船，飛船順利升空，在繞地球軌道飛行一段時(shí)間后，于11月21日安全降落在內(nèi)蒙古中部地區(qū)。
(1)若使航天飛船在無(wú)動(dòng)力作用的情況下在地面高為
h=640km的圓軌道上繞地球飛行，則飛行速度應(yīng)為多少？（地球半徑R=6400km,g =9.8m/s2）
（2）吊在降落傘下的載人航天飛船返回艙豎直下落速度仍達(dá)14m/s。為了絕對(duì)安全，在返回艙離地面約1.5m時(shí)同時(shí)啟動(dòng)5個(gè)反推力小火箭，設(shè)返回艙做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，并且接觸地面時(shí)速度恰好降為0。若返回艙重量8t，則每支火箭的推力應(yīng)為多大？
第四 重力作用下的運(yùn)動(dòng) 圓周運(yùn)動(dòng) 萬(wàn)有引力參考答案
專題一1．B ，2 C，3．D，4．AD，5．B，6．B，7．C，8．AC，9.
專題二1．C，2．B，3．ABC，4．D，5．B，6．C，7 C，8．C，9．BC，10．． 、 ．
專題三1.C，2．C，3．D，4．A，5．AD，6．BD，7．14，8．12.5，9． 10． ，
專題四1．ABC，2．B，3．AD，4．C，5．D，6．A，7．8.6s、8.2s，，8． 或 ，9． 、 ，10．7.07,1105
專題五1．AB，2．C，3．D，4．BD，5．C，6．BD， 7． 且 >m，8．0、2mg(1-cos)，9．(3)34.29m/s，10．l>y3l/5，
專題六1．B，2．C，3． ，4．7.21022 ，5．3108，6．1.41011 ，7．3R，8． ，9． ，10．
專題七 1．B，2．BCD，3．CD，4．D，5．BD，6．AD，7．C，8．AD，9．BC，10．1.4104 ，
效果驗(yàn)收1．BC，2．BD，3．ACD，4．AB，5．C，6．BD，7．A，8．AC，9．AD，10．ABD，11．BC，12．CD，13．C，14．ABD，15．D，16.1.2s、2.4m，17． m/s、2s，18.1.2105N
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