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年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 8-4 橢圓但因?yàn)闇y試 新人教B版

1.()(2011•東莞模擬)設(shè)P是橢圓x225＋y216＝1上的點(diǎn)，若F1、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，則PF1＋PF2等于(　　)
A．4　　 　　B．5
C．8　　 　　D．10
[答案]　D
[解析]　∵a2＝25，∴a＝5，∴PF1＋PF2＝2a＝10.
(理)(2011•浙江五校聯(lián)考)橢圓x216＋y27＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，一直線過F1交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長為(　　)
A．32　 　 　B．1 6
C．8　　 　　D．4
[答案]　B
[解析]　由題設(shè)條件知△ABF2的周長為AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝16.
2．()(2011•岳陽月考)橢圓x29＋y24＋k＝1的離心率為45，則k的值為(　　)
A．－21 B．21
C．－1925或21 D.1925或21
[答案]　C
[解析]　若a2＝9，b2＝4＋k，則c＝5－k，由ca＝45即5－k3＝45，得k＝－1925；若a2＝4＋k，b2＝9，則c＝k－5，
由ca＝45，即k－54＋k＝45，解得k＝21.
(理)(2011•廣東省江門市模擬)已知橢圓短軸上的兩個頂點(diǎn)分別為B1、B2，焦點(diǎn)為F1、F2，若四邊形B1F1B2F2是正方形，則這個橢圓的離心率e等于(　　)
A.22 B.12
C.32 D．以上都不是
[答案]　A
[解析]　畫出草圖(圖略)，根據(jù)題意可得e＝ca＝cos45°＝22，故選A.
3．“>n >0”是“方程x2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的(　　)
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
[答案]　C
[解析]　∵方程x2＋ny2＝1，即x21＋y21n＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，∴需有：1>01n>01<1n，
∴>n>0，故互為充要條件．
4．()(2011•撫順六校檢測)橢圓x24＋y2＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)在橢圓上，F(xiàn)1→•F2→＝0，則到y(tǒng)軸的距離為(　　)
A.233 B.263
C.33 D.3
[答案]　B
[分析]　條件F1→•F2→＝0，說明點(diǎn)在以線段F1F 2為直徑的圓上，點(diǎn)又在橢圓上，通過方程組可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離．
[解析]　橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±3，0)，點(diǎn)在以線段F1F2為直徑的圓上，該圓的方程是x2＋y2＝3，即y2＝3－x2，代入橢圓得x24＋3－x2＝1，解得x2＝83，即x＝263，此即點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離．
[點(diǎn)評]　滿足F→•B→＝0(其中A，B是平面上兩個不同的定點(diǎn))的動點(diǎn)的軌跡是以線段AB為直徑的圓．
(理)(2011•河北石家莊一模)已知橢圓x216＋y225＝1的焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點(diǎn)，若連接F1，F(xiàn)2，P三點(diǎn)恰好能構(gòu)成直角三角形，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是(　　)
A.165 B．3
C.163 D.253
[答案]　A
[解析]　F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)，∵3<4，
∴∠F1F2P＝90°或∠F2F1P＝90°.
設(shè)P(x,3)，代入橢圓方程得x＝±165.
即點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是165.
5．()(2011•東淄博重點(diǎn)中學(xué)期中)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且長軸長為12，離心率為13，則橢圓方程為(　　)
A.x2144＋y2128＝1 B.x236＋y220＝1
C.x232＋y236＝1 D.x236＋y232＝1
[答案]　D
[解析]　2a＝12，∴a＝6，∵e＝ca＝13，
∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故選D.
(理)(2011•長沙模擬)已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為12，且它的長軸長等于圓C：x2＋y2－2x－15＝0的半徑，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)
A.x24＋y23＝1 B.x216＋y212＝1
C.x24＋y2＝1 D.x216＋y24＝1
[答案]　A
[解析]　由x2＋y2－2x－15＝0得，(x－1)2＋y2＝16，
∴r＝4，∴2a＝4，∴a＝2，
∵e＝ca＝12，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.故選A.
6．()(2011•銀川二模)兩個正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)是52 ，等比中項(xiàng)是6，且a>b，則橢圓x2a2＋y2b2＝1的離心率e等于(　　)
A.32 B.133
C.53 D.13
[答案]　C
[解析]　由題意可知a＋b＝5a•b＝6，又因?yàn)閍>b，
所以解得a＝3b＝2，所以橢圓的半焦距為c＝5，
所以橢圓的離心率e＝ca＝53，故選C.
(理)(2011•杭州二檢、江西七校聯(lián)考)如下圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a2>a1c2；④c1a1<c2a2.其中正確式子的序號是(　　)

A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
[答案]　B
[解析]　給出圖形的題目，要充分利用圖形提供的信息解題．
∵P點(diǎn)既在橢圓Ⅰ上，又在橢圓Ⅱ上，且F是橢圓Ⅰ和Ⅱ的同一側(cè)的焦點(diǎn)，∴PF＝a－c，
即a1－c1＝a2－c2，故②正確；
由a1－c1＝a2－c2得a1－a2＝c1－c2，c1＝a1－a2＋c2，
∴c1a2－a1c2＝(a1－a2＋c2)a2－a1c2＝(a1－a2)a2＋(a2－a1)c2＝(a1－a2)(a2－c2)，
又∵從圖中可以看出，a1>a2，a2>c2，∴c1a2－a1c2>0，即c1a2>a1c2，故③正確，故選B.
7．()(2011•南京模擬)已知P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上的一點(diǎn)，若PF1→•PF2→＝0，tan∠PF1F2＝12，則此橢圓的離心率為________．
[答案]　53
[解析]　∵PF1→•PF2→＝0，∴PF1⊥PF2，
在Rt△PF1F2中，tan∠PF1F2＝PF2PF1＝12，
設(shè)PF2＝x，則PF1＝2x，
由橢圓的定義PF1＋PF2＝2a，∴x＝2a3，
∵PF12＋PF22＝F1F22，∴x2＋4x2＝4c2，
∴209a2＝4c2，∴e＝ca＝53.
(理)已知1＋2n＝1(>0，n>0)，則當(dāng)n取得最小值時，橢圓x22＋y2n2＝1的離心率是________．
[答案]　32
[解析]　∵>0，n>0
∴1＝1＋2n≥22n，
∴n≥8，當(dāng)且僅當(dāng)1＝2n，即n＝2時等號成立，
由n＝2n＝8，解得＝2，n＝4.
即當(dāng)＝2，n＝4時，n取得最小值8，
∴離心率e＝n2－2n ＝32.
8．()已知實(shí)數(shù)k使函數(shù)y＝coskx的周期不小于2，則方程x23＋y2k＝1表示橢圓的概率為________．
[答案]　12
[解析]　由條件2πk≥2，∴－π≤k≤π，
當(dāng)0<k≤π且k≠3時，方程x23＋y2k＝1表示橢圓，
∴概率P＝12.
(理)(2010•深圳市調(diào)研)已知橢圓：x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)的面積為πab，包含于平面區(qū)域Ω：x≤2y≤3內(nèi)，向Ω內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)Q，點(diǎn)Q落在橢圓內(nèi)的概率為π4，則橢圓的方程為________．
[答案]　x24＋y23＝1
[解析]　平面區(qū)域Ω：x≤2y≤3是一個矩形區(qū)域，如下圖所示，

依題意及幾何概型，可得πab83＝π4，
即ab＝23.
因?yàn)?<a≤2,0<b≤3，
所以a＝2，b＝3.
所以，橢圓的方程為x24＋y23＝1.
9．(2011•湖南長沙一中月考)直線l：x－y＝0與橢圓x22＋y2＝1相交A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是橢圓上的動點(diǎn)，則△ABC面積的最大值為_ _______．
[答案]　2
[解析]　設(shè)與l平行的直線方程為x－y＋a＝0，當(dāng)此直線與橢圓的切點(diǎn)為C時，△ABC的面積最大，將y＝x＋a代入x22＋y2＝0中整理得，3x2＋4ax＋2(a2－1)＝0，由Δ＝16a2－24(a2－1)＝0得，a＝±3，兩平行直線x－y＝0與x－y＋3＝0的距離d＝62，將y＝x代入x22＋y2＝1中得，x1＝－63，x2＝63，
∴AB＝1＋163－(－63) ＝433，
∴S△ABC＝12AB•d＝12×433×62＝2.
10．()(2010•新標(biāo)全國)設(shè)F1、F2分別是橢圓E：x2＋y2b2＝1(0<b<1)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與E相交于A、B兩點(diǎn)，且AF2、AB、BF2成等差數(shù)列．
(1)求AB；
(2)若直線l的斜率為1，求b的值．
[解析]　(1)由橢圓定義知AF2＋AB＋BF2＝4，
又2AB＝AF2＋BF2，得AB＝43.
(2)l的方程為y＝x＋c，其中c＝1－b2.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組
y＝x＋c，x2＋y2b2＝1.
化簡得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
則x1＋x2＝－2c1＋b2，x1x2＝1－2b21＋b2.
因?yàn)橹本�AB的斜率為1，所以AB＝2x2－x1，
即43＝2x2－x1.
則89＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝41－b21＋b22－41－2b21＋b2＝8b41＋b22.
解得b＝22.
(理)(2011•北京，19)已知橢圓G：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的離心率為63，右焦點(diǎn)為(22，0)，斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P(－3,2)．
(1)求橢圓G的方程；
(2)求△PAB的面積．
[解析]　(1)由已知得，c＝22，ca＝63，
解得a＝23，
又b2＝a2－c2＝4，
所以橢圓G的方程為x212＋y24＝1.
(2)設(shè)直線l的方程為y＝x＋
由y＝x＋.x212＋y24＝1得
4x2＋6x＋32－12＝0. ①
設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中點(diǎn)為E(x0，y0)，則
x0＝x1＋x22＝－34，
y0＝x0＋＝4.
因?yàn)锳B是等腰△PAB的底邊，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k＝2－4－3＋34＝－1.
解得＝2，
此時方程①為4x2＋12x＝0，
解得x1＝－3，x2＝0，
所以y1＝－1，y2＝2，所以AB＝32，
此時，點(diǎn)P(－3,2)到直線AB：x－y＋2＝0的距離d＝－3－2＋22＝322，
所以△PAB的面積S＝12AB•d＝92.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.douzifanli.com/gaosan/51160.html

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