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東莞市2014屆高三理科數(shù)學(xué)模擬試題(一)命題：汪紅兵 審稿與校對：梅開萍、楊波參考公式：?如果事件、互斥，那么．?表示底面積，表示底面的高，柱體體積 ，，錐體體積 ．一、選擇題：共8小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．學(xué)1.已知全集U＝R，集合,則∩(?U B)＝(　　)A．(,1) B．C．D． (0,) 2. 設(shè)、，若，則下列不等式中正確的是A． B． C． D．是等差數(shù)列,若則數(shù)列前8項和為（ ）A．128 B.80 C.64 D.564.已知函數(shù)則函數(shù)的零點為A．．．．5.給出下列三個結(jié)論：（1）若命題為假命題，命題為假命題，則命題“”為假命題；（2）命題“若，則或”的否命題為“若，則或”；（3）命題“”的否定是“ ”.則以上結(jié)論正確的個數(shù)為A． B． C． D．的最小正周期是，若其圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象A．對稱B．對稱C．D．對稱7. 已知向量與的夾角為,且,若,且,則實數(shù)的值為8. 設(shè)，，為整數(shù)（m>0），若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為．若，，則的值可以是A．2011 B．2012 C．2013 D．2014二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中1～15題是選做題，考生只能選做題，題全答的，只計算前題得分．某中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在3 000名學(xué)生中隨機(jī)抽取200名，并統(tǒng)計這200名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖(如圖)．根據(jù)頻率分布直方圖推測，這3 000名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績小于60分的學(xué)生數(shù)是________． （第9題） （第10題） 10.某幾何體的三視圖如，則它的體積是________． 的展開式中x3的項的系數(shù)是＿＿＿＿（用數(shù)字作答）。12. 已知集合A＝{xx2－2x－3＞0 }，B＝{xax2＋bx＋c≤0}，若A∩B＝{x3＜x≤4}，A∪B＝R，則的最小值為＿＿＿＿13. 請閱讀下列材料：若兩個正實數(shù)滿足（不必證明）14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)[來已知直線為參數(shù)且）與(是參數(shù)且)，則直線與的交點坐標(biāo)為 . 15.（幾何證明選講選做）如圖，AB是半圓的直徑，C是AB延長線上一點，CD切半圓于點D，CD=2，DE⊥AB，垂足為E，且E是OB的中點，則BC的長為 ．16．（本小題滿分12分）已知，．⑴ 求的最小正周期；⑵ 設(shè)、，，，求的值．，據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖. （1）求成績在區(qū)間的頻率；（2）從成績大于等于80分的學(xué)生中隨機(jī)選3名學(xué)生，其中成績在[90，100]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列與均值.18. （本小題滿分14分）如圖所示的多面體中， 是菱形，是矩形，平面，，．(1) 求證：平面；() 若二面角為直二面角求直線與平面所成的角的正弦值19．（本小題滿分14分）如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓E上的三點，點A是長軸的一個端點，BC過橢圓中心O，且，BC＝2AC． (1)求橢圓方程；(2) 在橢圓E上是否存點Q，使得？若存在，有幾個（不必求出Q點的坐標(biāo)），若不存在，請說明理由．（3）的兩條切線，切點分別為M、N，若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n，證明：為定值．20．（本小題滿分14分）已知函數(shù)（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）求的極值；若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有公共點，求實數(shù)的取值范圍21．（本小題滿分14分）已知數(shù)列中，，且．為數(shù)列的前項和，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項的和；（3）證明對一切，有．東莞市2014屆高三理科數(shù)學(xué)模擬試題(一)參考答案選擇題：每小題5分，共40分.序號12345678答案ABCDD B D A 二. 填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9.600 10. 8－;13. 14．（1，3） .三. 解答題：16. 解：⑴……2分，……4分，的最小正周期⑵因為，，……6分，所以，……7分，，，……8分，因為，所以，……9分，所以……10分，……11分，……12分。17. 解：（1）因為各組的頻率之和為1，所以成績在區(qū)間的頻率為， …………………3分 （2）由已知和（1）的結(jié)果可知成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生有人，成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生有人，…………………4 分依題意，ξ可能取的值為0，1，2，3 …………………5 分所以ξ的分布列為ξ0123P ............................................................................10分則均值Eξ= ...............................12分18.（本小題滿分14分）（1）矩形中，--------1分平面，平面,平面，-2分同理平面,-------3分又u平面∥平面------4分（2）取的中點.由于面, ∥,又是菱形，是矩形，所以，是全等三角形， 所以，就是二面角的平面角-------8分解法1（幾何方法）：延長到，使,由已知可得，是平行四邊形，又矩形，所以是平行四邊形，共面，由上證可知，　，,相交于，平面為所求.由,,得等腰直角三角形中，,可得直角三角形中,解法2幾何方法）：由，，得平面，欲求直線與平面所成的角，先求與所成的角. ------12分連結(jié)，設(shè)則在中，，，用余弦定理知 ---14分解法3（向量方法）：以為原點，為軸、為軸建立如圖的直角坐標(biāo)系，由則，，平面的法向量， -------12分. ---14分19．解：(1)，則A(2，0)，設(shè)橢圓方程為-----------------------分　由對稱性知OC＝OB 又∵，BC＝2AC∴AC⊥BC，OC＝AC ∴△AOC為等腰直角三角形∴點C的坐標(biāo)為(1，1)點B的坐標(biāo)為(－1，－1) ---------------------4分將C的坐標(biāo)(1，1)代入橢圓方程得 ∴所求橢圓方程為---------------------------------分在橢圓E上存點Q，使得，則即點Q在直線上，-----------------------------------------------------------7分∴點Q即直線與橢圓E的交點，∵直線過點，而點橢圓在橢圓E的內(nèi)部，∴滿足條件的點Q存在，且有兩個．------------------------------------------------------9分在橢圓E上存點Q，使得，則即，--------①-------------------------------------------------7分Q在橢圓E上，∴，-----------------②由①式得代入②式并整理得：，-----③∵方程③的根判別式，∴方程③有兩個不相等的實數(shù)根，即滿足條件的點Q存在，且有兩個．---------------9分，由M、N是的切點知，,∴O、M、P、N四點在同一圓上，------------------------------------------10分OP,則圓心為，其方程為，------------------------------11分-----④即點M、N滿足方程④，又點M、N都在上，∴M、N坐標(biāo)也滿足方程---------------⑤⑤-④得直線MN的方程為分得，令得，----------------------------------13分∴，又點P在橢圓E上，∴，即=定值.-----------------------------------14分則----------10分化簡得--------------④同理可得直線PN的方程為---------------⑤-------------------11分⑤得∴直線MN的方程為分得，令得，--------------------------------------------13分∴，又點P在橢圓E上，∴，即=定值．---------------------------------------------14分，且． 又，． 在點處的切線方程為：， 即． 　　　 ……………………… 4分（2）的定義域為，， 令．當(dāng)時，，是增函數(shù)；當(dāng)時，，是減函數(shù)； 在處取得極大值，即．　　　……… 8分（3）（i）當(dāng)，即時，由（Ⅱ）知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，當(dāng)時，取得最大值，即．又當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，的圖像與的圖像在上有公共點，等價于，解得，又因為，所以． （ii）當(dāng)，即時，在上是增函數(shù)，在上的最大值為，原問題等價于，解得，又 無解綜上，的取值范圍是． 　　 ……………… 14分21．解：（1）由已知得，，，由題意，即， 當(dāng)n為奇數(shù)時，；當(dāng)n為偶數(shù)時，.所以.　　　　　　　　　　　 …………4分（2）解法一：由已知，對有，兩邊同除以，得，即，于是，==，即，，所以=，，，又時也成立，故，.所以， ………8分解法二：也可以歸納、猜想得出，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．（3）當(dāng)，有，所以時，有=.當(dāng)時，. 故對一切，有.　　　　………14分 每天發(fā)布最有價值的高考資源 每天發(fā)布最有價值的高考資源 每天發(fā)布最有價值的高考資源70506080100400分?jǐn)?shù)頻率/組距0.0150.0050.0450.02090廣東省東莞市2014屆高三模擬（一）數(shù)學(xué)理試題
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