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2014屆高三第次調(diào)研數(shù)學(xué)（理）試題本試卷共21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．一、選擇題：本大題共8個小題；每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，則?U（M∪N）=（　�。〢．{5，7}, B．{2，4}, C．{2，4，8}, D．{1，3，5，6，7}2．復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則=A． B． C． D．3．已知f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，且f（-1）+g（1）=2，f（1）+g（-1）=4，則g（1）等于（　�。〢．4, B．3, C．2, D．14．如果函數(shù)y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）都滿足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正確的選項(xiàng)是（　　）A．y=f（x）是區(qū)間（0，+∞）上的減函數(shù)，且x+y≤4B．y=f（x）是區(qū)間（1，+∞）上的增函數(shù)，且x+y≥4C．y=f（x）是區(qū)間（1，+∞）上的減函數(shù)，且x+y≥4D．y=f（x）是區(qū)間（1，+∞）上的減函數(shù)，且x+y≤45．執(zhí)行程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是（　　）A．120, B．720, C．1440, D．50406．的展開式中常數(shù)項(xiàng)為A． B．C． D．7．如圖，在矩形內(nèi)：記拋物線與直線圍成的區(qū)域?yàn)椋▓D中陰影部分）．隨機(jī)往矩形內(nèi)投一點(diǎn)，則點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率是A． B．C． D．8．在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)與之間的“直角距離”為．給出下列命題：（1）若，，則的最大值為；（2）若是圓上的任意兩點(diǎn)，則的最大值為；（3）若，點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，則的最小值為．其中為真命題的是A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（2）（3）二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．本大題分為必做題和選做題兩部分．（一）必做題：第9、10、11、12、13題為必做題，每道試題考生都必須作答．9．函數(shù)的定義域?yàn)?．10．某幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖是邊長為2的正方形，側(cè)視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，則此幾何體的體積是 ．11．已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)且雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的方程為 ．12．設(shè)實(shí)數(shù)滿足 向量，．若，則實(shí)數(shù)的最大值為 ．13．在數(shù)列中，已知， ，且數(shù)列是等比數(shù)列，則 ．（二）選做題：第14、15題為選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計(jì)算前一題的得分．14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．若曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為．則曲線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)為________個．15．（幾何證明選講選做題）如圖4，已知是⊙的直徑，是⊙的切線，過作弦，若，，則 ．三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16．（本小題滿分12分）已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)．（1）求的值；（2）在中，、、所對的邊分別為、、，若，且．求．17．（本小題滿分12分）某網(wǎng)絡(luò)營銷部門為了統(tǒng)計(jì)某市網(wǎng)友2013年11月11日在某淘寶店的網(wǎng)購情況，隨機(jī)抽查了該市當(dāng)天名網(wǎng)友的網(wǎng)購金額情況，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表（如圖（1））：合計(jì)若網(wǎng)購金額超過千元的顧客定義為“網(wǎng)購達(dá)人”，網(wǎng)購金額不超過千元的顧客定義為“非網(wǎng)購達(dá)人”，已知“非網(wǎng)購達(dá)人”與“網(wǎng)購達(dá)人”人數(shù)比恰好為．（1）試確定，，，的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖（如圖（2））．（2）該營銷部門為了進(jìn)一步了解這名網(wǎng)友的購物體驗(yàn)，從“非網(wǎng)購達(dá)人”、“網(wǎng)購達(dá)人”中用分層抽樣的方法確定人，若需從這人中隨機(jī)選取人進(jìn)行問卷調(diào)查．設(shè)為選取的人中“網(wǎng)購達(dá)人”的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．18．（本小題滿分14分）如圖所示，平面平面，且四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，．（1）求證平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（3）求直線與平面所成角的余弦值．19．（本小題滿分14分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求，的值；（2）求；（3）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．20．（本小題滿分14分）如圖，直線，拋物線，已知點(diǎn)在拋物線上，且拋物線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為．（1）求直線及拋物線的方程；（2）過點(diǎn)的任一直線（不經(jīng)過點(diǎn)）與拋物線交于、兩點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，， ．問：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由．21．（本小題滿分14分）已知函數(shù)．（1）求在上的最大值；（2）若直線為曲線的切線，求實(shí)數(shù)的值；（3）當(dāng)時，設(shè)，且，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．2014屆高三第次調(diào)研數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題：本大題每小題5分，滿分40分．12345678C BDCB A二、填空題：本大題每小題5分，滿分30分．9．； 10．； 11．； 12．；13．；　 14．；　 15．．三、解答題16．（本小題滿分12分）解：（1）由題意可得，即． ……………………………2分，， ， ． ……………………………………………………………5分（2）， ， ……………………………………………………7分． …………………………………………8分由（1）知，．， ， ……………………………10分又，．……………12分【說明】 本小題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換，以及余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查了簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．17．解：（1）根據(jù)題意，有解得 …………………2分，．補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示．………4分（2）用分層抽樣的方法，從中選取人，則其中“網(wǎng)購達(dá)人”有人，“非網(wǎng)購達(dá)人”有人．…………………6分故的可能取值為0，1，2，3； ， ，，．…………………………10分所以的分布列為： ． ……………………12分【說明】本題主要考察讀圖表、分層抽樣、概率、隨機(jī)變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識解決簡單實(shí)際問題的能力，數(shù)據(jù)處理能力．18．（本小題滿分14分）解：（法一）（1）取中點(diǎn)為，連接、， 且，，則 且．…………2分 四邊形為矩形， 且，且，，則． 平面，平面， 平面． ……………………………………………………4分（2）過點(diǎn)作的平行線交的延長線于，連接，，，， ，，，四點(diǎn)共面．四邊形為直角梯形，四邊形為矩形，，，又，平面，，又平面平面，為平面與平面所成銳二面角的平面角．……………………7分，．即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．……………………9分（3）過點(diǎn)作于，連接，根據(jù)（2）知，，，四點(diǎn)共面，，，，又， 平面， ，則．又， 平面．直線與平面所成角為． ……………………………11分，，，，，．即直線與平面所成角的余弦值為． ……………………………14分（法二）（1）四邊形為直角梯形，四邊形為矩形，，，又平面平面，且平面平面，平面．以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．根據(jù)題意我們可得以下點(diǎn)的坐標(biāo)：，，，，，， 則，． ………………2分，， 為平面的一個法向量．又，平面． …………………………………………………………4分（2）設(shè)平面的一個法向量為，則，， ， 取，得． ……………………………6分平面，平面一個法向量為，設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為，則．因此，平面與平面所成銳二面角的余弦值為．…………………9分（3）根據(jù)（2）知平面一個法向量為，， ，………12分設(shè)直線與平面所成角為，則．因此，直線與平面所成角的余弦值為．………………………14分【說明】本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角及三角函數(shù)及空間坐標(biāo)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數(shù)學(xué)問題的能力．19．解：（1）當(dāng)時，有，解得．當(dāng)時，有，解得．……………2分（2）（法一）當(dāng)時，有, ……………①．…………………②①—②得：，即：．…………5分． ． ………………………………………8分另解：． 又當(dāng)時，有， ．…………………………8分（法二）根據(jù)，，猜想：．………………………………3分用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： （Ⅰ）當(dāng)時，有，猜想成立． （Ⅱ）假設(shè)當(dāng)時，猜想也成立，即：．那么當(dāng)時，有，即：，………………………①又 ， …………………………② ①-②得：，解，得 ．當(dāng)時，猜想也成立． 因此，由數(shù)學(xué)歸納法證得成立．………………………………………8分（3）， ……………………………10分 ． ………………………………………14分【說明】考查了遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列裂項(xiàng)求和公式、放縮法證明不等式等知識，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想．20．（本小題滿分14分）解：（1）（法一）點(diǎn)在拋物線上， ． ……………………2分設(shè)與直線平行且與拋物線相切的直線方程為，由 得， ，由，得，則直線方程為．兩直線、間的距離即為拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離，有，解得或（舍去）．直線的方程為，拋物線的方程為．…………………………6分（法二）點(diǎn)在拋物線上， ，拋物線的方程為．……2分設(shè)為拋物線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，根據(jù)圖象，有，，，的最小值為，由，解得．因此，直線的方程為，拋物線的方程為．…………………6分（2）直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，由 得，設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則，，，， …………………………9分．…10分由 得，，， ………………………………………山東省滕州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2014屆高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理）試題
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