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M 3 勻變速直線運動的位移與時間的關系
整體設計
高中物理引入極限思想的出發(fā)點就在于它是一種常用的科學思維方法，上一章教材用極限思想介紹了瞬時速度和瞬時加速度，本節(jié)介紹v-t圖線下面四邊形的面積代表勻變速直線運動的位移時，又一次應用了極限思想.當然，我們只是讓學生初步認識這些極限思想，并不要求會計算極限.按教材這樣的方式來接受極限思想，對高中學生來說是不會有太多困難的.學生學習極限時的困難不在于它的思想，而在于它的運算和嚴格的證明，而這些，在教材中并不出現(xiàn).教材的宗旨僅僅是“滲透”這樣的思想.在導出位移公式的中，利用實驗探究中所得到的一條紙帶上時間與速度的記 錄，讓學生思考與討論如何求出小車的位移，要鼓勵學生積極思考，充分表達自己的想法.可啟發(fā)、引導學生具體、深入地分析，肯定學生正確的想法，弄清楚錯誤的原因.本節(jié)應注重數(shù)、形結合的問題，過程中可采用探究式、討論式進行授課.
教學重點
1.理解勻速直線運動的位移及其應用.
2.理解勻變速直線運動的位移與時間的關系及其應用.
教學難點
1.v-t圖象中圖線與t軸所夾的面積表示物體在這段時間內運動的位移.
2.微元法推導位移公式.
課時安排
1課時
三維目標
知識與技能
1.知道勻速直線運動的位移與時間的關系.
2.理解勻變速直線運動的位移及其應用.
3.理解勻變速直線運動的位移與時間的關系及其應用.
4.理解v-t圖象中圖線與t軸所夾的面積表示物體在這段時間內運動的位移.
過程與方法
1.通過近似推導位移公式的過程，體驗微元法的特點和技巧，能把瞬時速度的求法與此比較.
2.感悟一些數(shù)學方法的應用特點.
情感態(tài)度與價值觀[來源:學科網]
1.經歷微元法推導位移公式和公式法推導速度位移關系，培養(yǎng)自己動手的能力，增加物理情感.
2.體驗成功的快樂和方法的意義.
課前準備
多媒體課件、坐標紙、鉛筆
教學過程
導入新課
情景導入
“適者生存”是自然界中基本的法則之一，獵豹要生存必須獲得足夠的食物，獵豹的食物來源中，羚羊是不可缺少的.假設羚羊從靜止開始奔跑，經50 m能加速到最大速度25 m/s，并能維持較長的時間；獵豹從靜止開始奔跑，經60 m能加速到最大速度30 m/s，以后只能維持這個速度4.0 s.設獵豹在某次尋找食物時，距離羚羊30 m時開始攻擊，羚羊在獵豹開始攻擊后1.0 s才開始逃跑，假定羚羊和獵豹在加速階段分別做勻加速直線運動，且均沿同一直線奔跑，獵豹能否成功捕獲羚羊？
故事導入
1962年11月，赫赫有名的“子爵號”飛機正在美國馬里蘭州伊利奧特市上空平穩(wěn)地飛行，突然一聲巨響，飛機從高空栽了下來，事后發(fā)現(xiàn)釀成這場空中悲劇的罪魁禍首竟是一只在空中慢慢翱翔的天鵝.
在我國也發(fā)生過類似的事情.1991年10月6日，海南�？谑袠窎|機場，海軍航空兵的一架“014號”飛機剛騰空而起，突然，“砰”的一聲巨響，機體猛然一顫，飛行員發(fā)現(xiàn)左前三角擋風玻璃完全破碎， 令人慶幸的是，飛行員憑著頑強的意志和嫻熟的技術終于使飛機降落在跑道上，追究原因還是一只迎面飛來的小鳥.
飛機在起飛和降落過程中，與經常棲息在機場附近的飛鳥相撞而導致“機毀鳥亡”.小鳥為何能把飛機撞毀呢？學習了本節(jié)知識，我們就知道其中的原因了.
復習導入
前面我們學習了勻變速直線運動中速度與時間的關系，其關系式為v=v0+at.在探究速度與時間的關系時，我們分別運用了不同方法來進行.我們知道，描述運動的物理量還有位移，那位移與時間的關系又是怎樣的呢？我們又將采用什么方法來探究位移與時間的關系呢？
推進新課
一、勻速直線 運動的位移與時間的關系
做勻速直線運動的物體在時間t內的位移x=v-t.
說明：取運動的初始時刻物體的位置為坐標原點，這樣，物體在時刻t的位移等于這時的坐標x，從開始到t時刻的時間間隔為t.
教師設疑：同學們在坐標紙上作出勻速直線運動的v-t圖象，猜想一下，能否在v-t圖象中表示出做勻速直線運動的物體在時間t內的位移呢？學生作圖并思考討論.
合作探究
1.作出勻速直線運動的物體的速度?時間圖象.
2.由圖象可看出勻速直線運動的v-t圖象是一條平行于t軸的直線.
3.探究發(fā)現(xiàn)，從0??t時間內，圖線與t軸所夾圖形為矩形，其面積為v-t.
4.結論：對于勻速直線運動，物體的位移對應著v-t圖象中一塊矩形的面積，如圖2-3-1.

圖2-3-1
點評：1.通過學生回答教師提出的問題，培養(yǎng)學生應用所學知識解決問題的能力和語言概括表達能力.
2.通過對問題的探究，提高學生把物理規(guī)律和數(shù)學圖象相結合的能力.
討論了勻速直線運動的位移可用v-t圖象中所夾的面積來表示的方法，勻變速直線運動的位移在v-t圖象中是不是也有類似的關系，下面我們就來學習勻變速直線運動的位移和時間的關系.
二、勻變速直線運動的位移
教師啟發(fā)引導，進一步提出問題，但不進行回答.
問題：對于勻變速直線運動的位移與它的v-t圖象是不是也有類似的關系？
通過該問題培養(yǎng)學生聯(lián)想的能力和探究問題、大膽猜想的能力.
學生針對問題思考，并閱讀“思考與討論”.
學生分組討論并說出各自見解.
結論：學生A的計算中，時間間隔越小，計算出的誤差就越小，越接近真實值.
點評：培養(yǎng)用微元法的思想分析問題的能力和敢于提出與別人不同見解發(fā)表自己看法的勇氣.
說明：這種分析方法是把過程先微分后再累加（積分）的定積分思想來解決問題的方法，在以后的學習中經常用到.比如：一條直線可看作由一個個的點子組成，一條曲線可看作由一條條的小線段組成.
教師活動：（投影）提出問題：我們掌握了這種定積分分析問題的思想，下面同學們在坐標紙上作初速度為v0的勻變速直線運動的v-t圖象，分析一下圖線與t軸所夾的面積是不是也表示勻變速直線運動在時間t內的位移呢？
學生作出v-t圖象，自我思考解答，分組討論.
討論交流：1.把每一小段Δt內的運動看作勻速運動，則各矩形面積等于各段 勻速直線運動的位移，從圖2-3-2看出，矩形面積之和小于勻變速直線運動在該段時間內的位移.

圖2-3-2 圖2-3-3 圖2-3-4
2.時間段Δt越小，各勻速直線運動位移和與勻變速直線運動位移之間的差值就越小.如圖2-3-3.
3.當Δt→0時，各矩形面積之和趨近于v-t圖象下面的面積.
4.如果把整個運動過程劃分得非常非常細，很多很小矩形的面積之和就能準確代表物體的位移了，位移的大小等于如圖2-3-4所示的梯形的面積.
根據同學們的結論利用課本圖2.3-2（丁圖）能否推導出勻變速直線運動的位移與時間的關系式？
學生分析推導，寫出過程：
S面積= （OC+AB）?OA
所以x= （v0+v）t
又v=v0+at
解得x=v0t+ at2.
點評：培養(yǎng)學生利用數(shù)學圖象和物理知識推導物理規(guī)律的能力.
做一做：位移與時間的關系也可以用圖象表示，這種圖象叫做位移?時間圖象，即x-t圖象.運用初中數(shù)學中學到的一次函數(shù)和二次函數(shù)知識，你能畫出勻變速直線運動x=v0t+ at2的x-t圖象嗎？（v0、a是常數(shù)）
學生在坐標紙上作x-t圖象.
點評：培養(yǎng)學生把數(shù)學知識應用在物理中，體會物理與數(shù)學的密切關系，培養(yǎng)學生作關系式圖象的處理技巧.
（投影）進一步提出問題：如果一位同學問：“我們研究的是直線運動，為什么畫出來的x-t圖象不是直線？”你應該怎樣向他解釋？
學生思考討論，回答問題：
位移圖象描述的是位移隨時間的變化規(guī)律，而直線運動是實際運動.
知識 拓展
問題展示：勻變速直線運動v-t關系為：v=v0+at
x-t關系為：x=v0t+ at2
若一質點初速度為v0=0，則以上兩式變式如何？
學生思考回答：v=at x= at2
進一步提出問題：一質點做初速度v0=0的勻加速直線運動.
（1）1 s末、2 s末、3 s末……n s末的速度之比為多少？
（2）1 s內、2 s內、3 s內……n s內的位移之比為多少？
（3）第1 s內、第2 s內、第3 s內……第n s內的位移之比為多少？
（4）第1個x，第2個x，第3個x……第n個x相鄰相等位移的時間之比為多少？
點評：通過該問題加深對公式的理解，培養(yǎng)學生靈活運用所學知識解決實際問題的能力.
學生活動：思考，應用公式解決上述四個問題.
（1）由v=at知，v∝t，故1 s末、2 s末、3 s末……n s末的速度之比為：1∶2∶3∶…∶n
（2）由x= at2知x∝t2，故1 s內、2 s內、3 s內……n s內的位移之比為：1∶4∶9∶…∶n2
（3）第1 s內位移為x1= a，第2 s內位移為x2= a（22-12），第3 s內位移為x3= a（32-22），第n s內位移為xn= a［n2-（n-1 ）2］
故第1 s內，第2 s內，第3 s內，…第n秒內位移之比為：1∶3∶5∶…∶（2n-1）.
（4）由x= at2知t∝ ，故x，2x，3x，…nx位移所用時間之比為：1∶ ∶ ∶…∶ .
第1個x，t1= ；第2個x，t2= ；第3個x，t3= ……第n個x，tn= ，故第1個x，第2個x，第3個x……第n個x相鄰相等位移的時間之比：1∶（ -1）∶（ - ）∶…∶（ - ）
三、勻變速直線運動位移時間關系的應用
引導學生由v=v0+at，x=v0t+ at2兩個公式導出兩個重要推論，再利用兩個推論解決實際問題，加深對公式的理解，提高學生邏輯思維能力.[來源:學.科.網]
問題：在勻變速直線運動中連續(xù)相等的時間（T）內的位移之差是否是恒量？若不是，寫出之間的關系；若是，恒量是多少？
學生分析推導 ：xn=v0T+ aT2
xn+1 =（v0+aT）T+ aT2
Δx=xn+1-xn=aT2（即aT2為恒量）.
展示論點：在勻變速直線運動中，某段時間內中間時刻的瞬時速度等于這段時間內的平均速度.
學生分組，討論并證明.
證明：如圖2-3-5所示

圖2-3-5
= +
= +at
= = = +
所以 = .
例1一個做勻變速直線運動的質點，在連續(xù)相等的兩個時間間隔內，通過的位移分別是24 m和64 m，每一個時間間隔為4 s，求質點的初速度和加速度.
解析：勻變速直線運動的規(guī)律可用多個公式描述，因而選擇不同的公式，所對應的解法也不同.如：
解法一：基本公式法：畫出運動過程示意圖，如圖2-3-6所示，因題目中只涉及位移與時間，故選擇位移公式：

圖2-3-6
x1=vAt+ at2
x2=vA（2t）+ a（2t）2-（ t+ at2）
將x1=24 m、x2=64 m，代入上式解得：
a=2.5 m/s2，vA=1 m/s.
解法二：用平均速度公式：
連續(xù)的兩段時間t內的平均速度分別為：
=x1/t=24/4 m/s=6 m/s
=x2/t=64/4 m/s=16 m/s
B點是AC段的中間時刻，則
= ，
=
= = = m/s=11 m/s.
得 =1 m/s， =21 m/s
a= = m/s2=2.5 m/s2.
解法三：用推論式
由Δx=at2得
a= = m/s2=2.5 m/s2
再由x1= t+ at2
解得 =1 m/s.
答案：1 m/s 2.5 m/s2
說明：1.運動學問題的求解一般均有多種解法，進行一題多解訓練可以熟練地掌握運動學規(guī)律，提高靈活運用知識的能力.從多種解法的對比中進一步明確解題的基本思 路和方法，從而提高解題能力.
2.對一般的勻變速直線運動問題，若出現(xiàn)相等 的時間間隔問題，應優(yōu)先考慮公式Δx=at2求解.
課堂訓練
一個滑雪的人，從85 m長的山坡上勻變速滑下，初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s，他通過這段山坡需要多長時間？
分析：滑雪人的運動可以看作是勻加速直線運動，可以利用勻變速直線運動的規(guī)律來求.已知量為初速度v0、末速度vt和位移x，待求量是時間t，此題可以用不同的方法求解.
解法一：利用公式vt=v0+at和x=v0t+ at2求解，
由公式vt=v0+at得，at=vt-v0，代入x=v0t+ at2有，
x=v0t+ ，故
t= = s=25 s.
解法二：利用平均速度的公式：
= 和x= t求解.
平均速度： = = =3.4 m/s
由x= t得，需要的時間：t= = =25 s.
關于剎車時的誤解問題：
例2 在平直公路上，一汽車的速度為15 m/s，從某時刻開始剎車，在阻力作用下，汽車以2 m/s2的加速度運動，問剎車后10 s末車離開始剎車點多遠？
分析：車做減速運動，是否運動了10 s，這是本題必須考慮的.
初速度v0=15 m/s，a=-2 m/s2，設剎車時間為t0，則0=v0+at.
得：t= = s=7.5 s，即車運動7.5 s會停下，在后2.5 s內，車停止不動.
解析：設車實際運動時間為t，vt=0，a=-2 m/s2，由v=v0+at知t=7.5 s.
故x=v0t+ at2=56.25 m.
答案：56.25 m
思維拓展
如圖2-3-7所示，物體由高度相同、路徑不同的光滑斜面靜止下滑，物體通過兩條路徑的長度相等，通過C點前后速度大小不變，問物體沿哪一路徑先到達最低點？

圖2-37 圖2-3-8
合作交流：物體由A→B做初速度為零的勻加速直線運動，到B點時速度大小為v1；物體由A→C做初速度為零的勻加速直線運動，加速度比AB段的加速度大，由C→D做勻加速直線運動，初速度大小等于AC段的末速度大小，加速度比AB段的加速度小，到D點時的速度大小也為v1（以后會學到），用計算的方法較為煩瑣，現(xiàn)畫出函數(shù)圖象進行求解.
根據上述運動過程，畫出物體運動的v-t圖象如圖2-3-8所示，我們獲得一個新的信息，根據通過的位移相等知道兩條圖線與橫軸所圍“面積”相等，所以沿A→C→D路徑滑下用的時間較短，故先到達最低點.
提示：用v-t圖象分析問題時，要特別注意圖線的斜率、與t軸所夾面積的物理意義.（注意此例中縱軸表示的是速率）
課堂訓練
“適者生存”是自然界中基本的法則之一，獵豹要生存必須獲得足夠的食物，獵豹的食物來源中，羚羊是不可缺少的.假設羚羊從靜止開始奔跑，經50 m能加速到最大速度25 m/s，并能維持較長的時間；獵豹從靜止開始奔跑，經60 m能加速到最大速度30 m/s，以后只能維持這個速度4.0 s.設獵豹在某次尋找食物時，距離羚羊30 m時開始攻擊，羚羊則在獵豹開始攻擊后1.0 s才開始逃跑，假定羚羊和獵豹在加速階段分別做勻加速直線運動，且均沿同一直線奔跑，問獵豹能否成功捕獲羚羊？（情景導入問題）
解答：羚羊在加速奔跑中的加速度應為：
a1= = ①
x= a1t2 ②
由以上二式可得：a1= =6.25 m/s2，同理可得出獵豹 在加速過程中的加速度a2= = =7.5 m/s2.羚羊加速過程經歷的時間t1= =4 s.獵豹加速過程經歷的時間t2= =4 s.
如果獵豹能夠成功捕獲羚羊，則獵豹必須在減速前追到羚羊，在此過程中獵豹的位移為：x2=x2+v2t=（60+30×4） m=180 m，羚羊在獵豹減速前的位移為：x1=x1+v1t′=（50+25×3） m=125 m，因為x2-x1=（180-125） m=55 m＞30 m，所以獵豹能夠成功捕獲羚羊.
課堂小結
本節(jié)重點學習了對勻變速直線運動的位移?時間公式x=v0t+ at2的推導，并學習了運用該公式解決 實際問題.在利用公式求解時，一定要注意公式的矢量性問題.一般情況下，以初速度方向為正方向；當a與v0方向相同時，a為正值，公式即反映了勻加速直線運動的速度和位移隨時間的變化規(guī)律；當a與v0方向相反時，a為負值，公式反映了勻減速直線運動的速度和位移隨時間的變化規(guī)律.代入公式求解時，與正方向相同的代入正值，與正方向相反的物理量應代入負值.
布置作業(yè)
1.教材第40頁“問題與練習”第1、2題.
2.利用課余時間實際操作教材第40頁“做一做”的內容.
板書設計
3 勻變速直線運動的位移和時間的關系
位移與時間的關系
活動與探究
課題：用一把直尺可以測定你的反應時間.
方法：請另一個人用兩個手指捏住直尺的頂端，你用一只手在直尺的下端作捏住直尺的準備，但手不能碰到直尺，記下這時手指在直尺上的位置；當你看到另一個人放開直尺時，你立即去捏直尺，記下你捏住直尺的位置 ，就可以求出你的反應時間.（用該尺測反應時間時，讓手指先對準零刻度處）試說明其原理.
提示：直尺做v0=0、a=g的勻加速直線運動，故x= .
習題詳解
1.解答：初速度v0=36 km/h=10 m/s，加速度a=0.2 m/s2，時間t=30 s，根據s=v0t+ at2得s=390 m.
根據v=v0+at得v=16 m/s.
2.解答：初速度v0=18 m/s，時間t=3 s，位移s=36 m.根據s=v0t+ at2得a= =-4 m/s2.
3.解答：x= at2x∝a
即位移之比等于加速度之比.
設計點評
本節(jié)是探究勻變速直線運動的位移與時間的關系，本教學設計先用微分思想推導出位移應是v-t圖象中圖線與t軸所夾圖形的面積，然后根據求圖形面積，推導出了位移?時間關系.這種分析方法是把過程先微分后再累加（積分）的定積分思想來解決問題的方法，在以后的學習中經常用到.因此本教學設計側重了極限思想的滲透，使學生接受過程中不感到有困難.在滲透極限的探究過程中，重點突出了數(shù)、形結合的思路.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.douzifanli.com/gaoer/75885.html

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