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定積分的背景——面積和路程問題
過程:
一、問題引入
師：1.求下圖中陰影部分的面積：

師：對于哪些圖形的面積，大家會求呢？（學(xué)生回憶，回答）
師：對于 ， ， ， 圍成的圖形（曲邊三角形）的面積如何來求呢？（一問激起千層浪，開門見山，讓學(xué)生明確本節(jié)課的所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，對于學(xué)生未知的東西，學(xué)生往往比較好奇，激發(fā)他們的求知欲）今天我們一起來探究這種曲邊圖形的面積的求法。
二、學(xué)生活動與意義建構(gòu)
1、讓學(xué)生自己探求，討論（3—4分鐘）
2、讓學(xué)生說出自己的想法
希望學(xué)生說出以 的面積近似代替曲邊三角形的面積，但誤差很大，如何減小誤差呢？希望學(xué)生討論得出將曲邊三角形進行分割，形成若干個曲邊梯形。（在討論的過程中滲透分割的思想）
師：如何計算每個曲邊梯形的面積呢？（通過討論希望學(xué)生能出以下三種方案，在討論的過程中，讓學(xué)生想到以直代曲，給學(xué)生創(chuàng)新的機會）


方案一 方案二 方案三

方案一：用一個矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積，梯形分割的越多，三角形的面積越小，小矩形的面積就可以近視代替曲邊梯形的面積。
方案二：用一個大矩形的面積來近似代替曲邊梯形的面積，梯形分割的越多，三角形的面積越小，大矩形的面積來近似代替曲邊梯形的面積。
方案三：以梯形的面積來近似代替曲邊梯形的面積。
（對于其中的任意一個曲邊梯形，我們可以用“直邊”來代替“曲邊”（即在很小的范圍內(nèi)以直代曲），這三種方案是本節(jié)課內(nèi)容的核心，故多花點時間引導(dǎo)學(xué)生探求，討論得出，讓學(xué)生體會“以曲代直”的思想，從近似中認識精確，給學(xué)生探求的機會）
師：這樣，我們就可以計算出任意一個小曲邊梯形的面積的近似值，從而可以計算出整個曲邊三角形面積的近似值，（求和），并且分割越細，面積的近似值就越精確，當(dāng)分割無限變細時，這個近似值就無限逼近所求的曲邊三角形的面積。如何求這個曲邊三角形的面積，以方案一為例：
⑴分割細化
將區(qū)間 等分成 個小區(qū)間 ， ，…， ，…， ，每個區(qū)間的長度為 （學(xué)生回答），過各個區(qū)間端點作 軸的垂線，從而得到 個小曲邊梯形，它們的面積分別記作 ， ，…， ，…， 。
⑵以直代曲
對區(qū)間 上的小曲邊梯形，以區(qū)間左端點 對應(yīng)的函數(shù)值 為一邊的長，以 為鄰邊的長的小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積。即
（當(dāng)分割很細時，在 上任一點的函數(shù)值作為矩形的一邊長都可以，常取左右端點或中點，這樣為以后定積分的定義埋下了伏筆，為學(xué)生的解題提供了方法）
⑶作和
因為每個小矩形的面積是相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以 個小矩形面積之和就是所求曲邊三角形面積 的近似值：

（復(fù)習(xí) 符號的運用）


⑷逼近
當(dāng)分割無限變細時，即 無限趨近于 （ 趨向于 ）

當(dāng) 趨向 時， 無限趨近于 ， 無限趨近于 ，故上式的結(jié)果無限趨近于 ， ，即所求曲邊三角形面積是 。（在逼近的過程中，難點是求 在此應(yīng)給學(xué)生一些時間探求自然數(shù)的平方和，
最好在講數(shù)列知識時補充進去。新教材有很多知識點前后順序編排的有所不妥，有好多知識應(yīng)該先有伏筆，而不是要用到什么就補充什么，在研究解析幾何中直線部分時，這個問題也有所體現(xiàn)）
3、分成兩組，分別以方案二、方案三按上述四個步驟重新計算曲邊三角形的面積，并將操作過程和計算結(jié)果與方案一進行比較。
（設(shè)計的目的是培養(yǎng)學(xué)生的合作交流的能力，優(yōu)化解題方案）
師：請用流程圖表示求曲邊三角形面積的過程

4、反思
在求曲邊梯形面積過程中，你認為最讓你感到困難的是什么？（如何分割，求和逼近是兩大難點）
（在新課程的課堂過程中，經(jīng)常性地問學(xué)生一些這樣的問題，可以讓學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)過程起到一個自查作用，查漏補缺，對培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自查意識是一個很好的途徑，也可以活躍課堂氣氛）
三、數(shù)學(xué)應(yīng)用
1、典型例題
師：在方案一中，和式 （*）表示曲邊梯形的面積的近似值，這一和式不僅是有直觀的幾何意義，還有豐富的實際背景。
例1：火箭發(fā)射后 的速度為 （單位 ），假定 ，對函數(shù) 按（*）式所作的和具有怎樣的意義？
解：將區(qū)間 等分成 個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度為 ，在每個小區(qū)間上取一點，依次為 ，雖然火箭的速度不是常數(shù)，但在一個小區(qū)間內(nèi)其變化很小，可以用 來代替火箭在第一個小區(qū)間上的速度，這樣，
火箭在第一個時段內(nèi)運行的路程
同理 火箭在第二個時段內(nèi)運行的路程
從而
火箭在 內(nèi)運行的路程總和
這就是函數(shù) 在時間區(qū)間 上按（*）式所作的和的實際背景。
（由于學(xué)生初次遇到這類問題，語言表達比較困難，故教師在教學(xué)過程中最好采用對話式教學(xué)，邊說邊寫，規(guī)范板書）
例2：如圖，有兩個點電荷 、 ，電量分別為 、 ，固定電荷 將電荷 從距 為 處移到距 為 處，求庫侖力對電荷 所做的功。

先分析，再讓學(xué)生嘗試書寫，然后投影解題過程。
（設(shè)計兩道例題的目的，一是培養(yǎng)學(xué)生的文字表達能力，二是讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)在物理上的應(yīng)用，也為后面的定積分的物理意義變力所做的功，變速運動的位移埋下伏筆）
學(xué)生練習(xí)：課本P46練習(xí)
四、回顧反思
知識點：⑴求曲邊梯形面積的四個步驟；⑵數(shù)學(xué)知識在物理上的應(yīng)用。
反思消化：⑴對今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容，你覺得有什么困難？
⑵在以前的學(xué)習(xí)過程中，有哪些地方用到了與今天類似的方法？
（希望學(xué)生能回憶起初中圓的周長、高中球的表面積以及線性回歸方程等類似的內(nèi)容）
五、布置作業(yè)：
1、探究：有沒有不同于方案一、方案二、方案三的以直代曲的方案？
2、課課練P41 1. 2
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.douzifanli.com/gaoer/72172.html

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