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2.5平面向量應用舉例

一、教材分析
向量概念有明確的物理背景和幾何背景，物理背景是力、速度、加速度等，幾何背景是有向線段，可以說向量概念是從物理背景、幾何背景中抽象而來的，正因為如此，運用向量可以解決一些物理和幾何問題，例如利用向量計算力沿某方向所做的功，利用向量解決平面內兩條直線平行、垂直位置關系的判定等問題。
二、目標
1.通過應用舉例，讓學生會用平面向量知識解決幾何問題的兩種方法-----向量法和坐
標法，可以用向量知識研究物理中的相關問題的“四環(huán)節(jié)” 和生活中的實際問題
2.通過本節(jié)的學習，讓學生體驗向量在解決幾何和物理問題中的工具作用，增強學生的
積極主動的探究意識，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。
三、重點難點
重點：理解并能靈活運用向量加減法與向量數(shù)量積的法則解決幾何和物理問題.
難點：選擇適當?shù)姆椒�，將幾何問題或者物理問題轉化為向量問題加以解決.
四、學情分析
在平面幾何中，平行四邊形是學生熟悉的重要的幾何圖形，而在物理中，受力分析則是其中最基本的基礎知識，那么在本節(jié)的學習中，借助這些對于學生來說，非常熟悉的內容來講解向量在幾何與物理問題中的應用。
五、教學方法
1.例題教學，要讓學生體會思路的形成過程，體會數(shù)學思想方法的應用。
2.學案導學：見后面的學案
3.新授課教學基本環(huán)節(jié)：預習檢查、總結疑惑→情境導入、展示目標→合作探究、精講點撥→反思總結、當堂檢測→發(fā)導學案、布置預習
六、課前準備
1.學生的學習準備：預習本節(jié)課本上的基本內容，初步理解向量在平面幾何和物理中的
應用
2.教師的教學準備：課前預習學案，課內探究學案，課后延伸拓展學案。
七、課時安排：1課時
八、教學過程
(一)預習檢查、總結疑惑
檢查落實了學生的預習情況并了解了學生的疑惑，使教學具有了針對性。
(二）情景導入、展示目標
教師首先提問：（1）若O為 重心,則 + + =
（2）水渠橫斷面是四邊形 , = ,且 = ,則這個四邊形
為等腰梯形.類比幾何元素之間的關系,你會想到向量運算之間都有什么關系?
(3) 兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力.為什么？
教師：本節(jié)主要研究了用向量知識解決平面幾何和物理問題；掌握向量法和坐標法，以及用向量解決平面幾何和物理問題的步驟，已經(jīng)布置學生們課前預習了這部分，檢查學生預習情況并讓學生把預習過程中的疑惑說出來。
（設計意圖：步步導入，吸引學生的注意力，明確學習目標。）
（三）合作探究、精講點撥。
探究一：（１）向量運算與幾何中的結論＂若 ，則 ，且 所在直線平行或重合＂相類比，你有什么體會？（２）由學生舉出幾個具有線性運算的幾何實例．
教師：平移、全等、相似、長度、夾角等幾何性質可以由向量線性運算及數(shù)量積表示出來： 例如，向量數(shù)量積對應著幾何中的長度.如圖： 平行四邊行 中，設 ＝ , ＝ ，則 （平移）， ， （長度）．向量 ， 的夾角為 .因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問題。通過向量運算研究幾何運算之間的關系，如距離、夾角等．把運算結果＂翻譯＂成幾何關系．本節(jié)課，我們就通過幾個具體實例，來說明向量方法在平面幾何中的運用
例1．證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．
已知：平行四邊形ABCD．
求證： ．
分析：用向量方法解決涉及長度、夾角的問題時，我們常常要考慮向量的數(shù)量積．注意到 ， ，我們計算 和 ．
證明：不妨設 a， b，則
a+b， a-b， a2， b2．
得 ( a+b)?( a+b)
= a?a+ a?b+b?a+b?b= a2+2a?b+b2． ①
同理　　　 a2-2a?b+b2． ②
①+②得 2(a2+b2)=2( )．
所以，平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．
師：你能用幾何方法解決這個問題嗎？
讓學生體會幾何方法與向量方法的區(qū)別與難易情況。
師：由于向量能夠運算，因此它在解決某些幾何問題時具有優(yōu)越性，他把一個思辨過程變成了一個算法過程，可以按照一定的程序進行運算操作，從而降低了思考問題的難度.
用向量方法解決平面幾何問題，主要是下面三個步驟，
⑴建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；
⑵通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；
⑶把運算結果“翻譯”成幾何關系．
變式訓練： 中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，BF與CD交于點O，設 （1）證明A、O、E三點共線；（2）用 表示向量 。
例2，如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F分別是AD、DC邊的中點，BE、BF分別與AC交于R、T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關系嗎？
分析：由于R、T是對角線AC上兩點，所以要判斷AR、RT、TC之間的關系，只需要分別判斷AR、RT、TC與AC之間的關系即可．
解：設 a， b，則 a+b．
由　 與 共線，因此。存在實數(shù)m，使得 =m(a+b)．
又　由 與 共線
因此 　存在實數(shù)n，使得 =n = n( b- a)．
由 = n ，得m(a+b)= a+ n( b- a)．
整理得　　　　　　 a＋ b＝0．
由于向量a、b不共線，所以有　 ，解得 ．
所以　　　　　　　　　　　 ．
同理　　　　　　　　　　　 ．
于是　　　　　　　　　　　 ．
所以　　　　　　　　　　　AR＝RT＝TC．
說明：本例通過向量之間的關系闡述了平面幾何中的方法，待定系數(shù)法使用向量方法證明平面幾何問題的常用方法．
探究二：（1）兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力.
（2）在單杠上做引體向上運動,兩臂夾角越小越省力. 這些問題是為什么？
師：向量在物理中的應用，實際上就是把物理問題轉化為向量問題，然后通過向量運算解決向量問題，最后再用所獲得的結果解釋物理現(xiàn)象．
例3．在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上作引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力．你能從數(shù)學的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？
分析：上面的問題可以抽象為如右圖所示的數(shù)學模型．只要分析清楚F、G、 三者之間的關系（其中F為F1、F2的合力）,就得到了問題的數(shù)學解釋．
解：不妨設F1=F2， 由向量加法的平行四邊形法則，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到
F1= ．
通過上面的式子我們發(fā)現(xiàn)，當 由 逐漸變大時， 由 逐漸變大， 的值由大逐漸變小，因此，F(xiàn)1有小逐漸變大，即F1、F2之間的夾角越大越費力，夾角越小越省力．
師：請同學們結合剛才這個問題，思考下面的問題：
⑴ 為何值時，F(xiàn)1最小，最小值是多少？
⑵F1能等于G嗎？為什么？
例4如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度 m，一艘船從A處出發(fā)到河對岸．已知船的速度v1=10km/h，水流的速度v2=2km/h，問行駛航程最短時，所用的時間是多少(精確到0.1min)？
分析：如果水是靜止的，則船只要取垂直于對岸的方向行駛，就能使行駛航程最短，所用時間最短．考慮到水的流速，要使船的行駛航程最短，那么船的速度與水流速度的合速度v必須垂直于對岸．（用《幾何畫板》演示水流速度對船的實際航行的影響）
解： = (km/h)，
所以， (min)．
答：行駛航程最短時，所用的時間是3.1 min．
本例關鍵在于對“行駛最短航程”的意義的解釋，即“分析”中給出的穿必須垂直于河岸行駛，這是船的速度與水流速度的合速度應當垂直于河岸，分析清楚這種關系侯，本例就容易解決了。
變式訓練：兩個粒子A、B從同一源發(fā)射出來，在某一時刻，它們的位移分別為 ，（1）寫出此時粒子B相對粒子A的位移s;(2)計算s在 方向上的投影。
九、板書設計
§2.5 平面向量應用舉例
例⒈　　 用向量法解平面幾何 例2 變式訓練
問題的“三步曲”
例3. 例4
變式訓練
十、教學反思
本小節(jié)主要是例題教學，要讓學生體會思路的形成過程，體會數(shù)學思想方法的應用。教學中，教師創(chuàng)設問題情境，引導學生發(fā)現(xiàn)解題方法，展示思路的形成過程，總結解題規(guī)律。指導學生搞好解題后的反思，從而提高學生綜合應用知識分析和解決問題的能力.
十一、學案設計（見下頁）


2.5平面向量應用舉例

課前預習學案
一、預習目標
預習《平面向量應用舉例》，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，建立實際問題與向量的聯(lián)系。
二、預習內容
閱讀課本內容，整理例題，結合向量的運算，解決實際的幾何問題、物理問題。另外，在思考一下幾個問題：
1.例1如果不用向量的方法，還有其他證明方法嗎？
2.利用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”是什么？
3． 例3中，⑴ 為何值時，F(xiàn)1最小，最小值是多少？
⑵F1能等于G嗎？為什么？
三、提出疑惑
同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中
疑惑點疑惑內容


課內探究學案
一、學習內容
1.運用向量的有關知識（向量加減法與向量數(shù)量積的運算法則等）解決平面幾何和解析
幾何中直線或線段的平行、垂直、相等、夾角和距離等問題.
2.運用向量的有關知識解決簡單的物理問題.
二、學習過程
探究一：（１）向量運算與幾何中的結論＂若 ，則 ，且 所在直線平行或重合＂相類比，你有什么體會？

（２）舉出幾個具有線性運算的幾何實例．

例1．證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．
已知：平行四邊形ABCD．
求證： ．

試用幾何方法解決這個問題



利用向量的方法解決平面幾何問題的“三步曲”？
（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，
（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，
（3）把運算結果“翻譯”成幾何關系。
變式訓練： 中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，BF與CD交于點O，設
（1）證明A、O、E三點共線；
（2）用 表示向量 。

例2，如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F分別是AD、DC邊的
中點，BE、BF分別與AC交于R、T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關系嗎？


探究二：兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力.在單杠上做引體向上運動,兩臂夾角越小越省力. 這些力的問題是怎么回事？


例3．在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上作引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力．你能從數(shù)學的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？

請同學們結合剛才這個問題，思考下面的問題：
⑴ 為何值時，F(xiàn)1最小，最小值是多少？
⑵F1能等于G嗎？為什么？


例4如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度 m，一艘船從A處出發(fā)到河對岸．已知船的速度v1=10km/h，水流的速度v2=2km/h，問行駛航程最短時，所用的時間是多少(精確到0.1min)？


變式訓練：兩個粒子A、B從同一源發(fā)射出來，在某一時刻，它們的位移分別為
，（1）寫出此時粒子B相對粒子A的位移s; (2)計算s在 方向上的投影。

三、反思總結
結合圖形特點，選定正交基底，用坐標表示向量進行運算解決幾何問題，體現(xiàn)幾何問題
代數(shù)化的特點，數(shù)形結合的數(shù)學思想體現(xiàn)的淋漓盡致。向量作為橋梁工具使得運算簡練標致，又體現(xiàn)了數(shù)學的美。有關長方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等問題常用此法。
本節(jié)主要研究了用向量知識解決平面幾何問題和物理問題；掌握向量法和坐標法，以及用向量解決實際問題的步驟。
四、當堂檢測
1.已知 ，求邊長c。
2.在平行四邊形ABCD中，已知AD=1，AB=2，對角線BD=2，求對角線AC的長。



3.在平面上的三個力 作用于一點且處于平衡狀態(tài)， 的夾角為 ，求：（1） 的大��；（2） 與 夾角的大小。


課后練習與提高
一、選擇題
1.給出下面四個結論：
①若線段AC=AB+BC，則向量 ；
②若向量 ，則線段AC=AB+BC；
③若向量 與 共線，則線段AC=AB+BC;
④若向量 與 反向共線，則 .
其中正確的結論有 （ ）
A. 0個 B.1個 C.2個 D.3個
2.河水的流速為2 ，一艘小船想以垂直于河岸方向10 的速度駛向對岸，則小
船的靜止速度大小為 （ ）
A.10 B. C. D.12
3.在 中，若 =0，則 為 ( ）
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.無法確定
二、填空題
4.已知 兩邊的向量 ，則BC邊上的中線向量 用 、 表示為
5.已知 ，則 、 、 兩兩夾角是


課后練習答案

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