§2.1 數(shù)列的概念
一、知識要點
1、數(shù)列的定義：按照一定 排列的一列數(shù)叫數(shù)列.數(shù)列中的 都叫做這個數(shù)列的項.各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（或首 項），第2項, …,第n項, …數(shù)列的一般形式可以寫成： ，其中 是數(shù)列的 ，叫做數(shù)列的 ，我們通常把一般形式的數(shù)列簡記作 。
2、數(shù)列的表示:
(1)列舉法:將每一項一一列舉出表示數(shù)列的方法.
(2)圖像法:由(n,an)點構(gòu)成的一些孤立的點;
(3)解析法:用通項公式an=f(n)（ ）表示.
通項公式：如果數(shù)列{ }中的第n項 與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，則稱此公式為數(shù)列的 .
數(shù)列通項公式的作用：
①求數(shù)列中任意一項；
②檢驗?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項.
思考與討論:
①數(shù)列與數(shù)集有什么區(qū)別？
與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項也有三個性質(zhì)；
確定性：一個數(shù)在不在數(shù)列中，即一個數(shù)是不是數(shù)列中的項是確定的。
可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)。
有序性：一個數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且與這些數(shù)的排列次序也有關(guān)。
②是否所有的數(shù)列都有通項公式？
③{ }與 有什么區(qū)別？
⑷遞推公式法:用前n項的值與它相鄰的項之間的關(guān)系表示各項. 遞推公式也是求數(shù)列的一種重要的方法，但并不是所有的數(shù)列都有遞推公式。
3、數(shù)列與函數(shù)
從函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是一個定義域為 （或它的 ）的函數(shù) ，當自變量按照從小到大的順序依次取值時，所對應(yīng)的一列函數(shù)值.數(shù)列的 是相應(yīng)的函數(shù)的解析式，它的圖像是 。
4、數(shù)列分類：
按項數(shù)分類： ， .
按項與項間的大小關(guān)系分類： ，
， ， .
5、任意數(shù)列{an}的前n項和的性質(zhì)
= a1+ a2+ a3+ ……+ an
6、求數(shù)列中最大最小項的方法：
最大 最小 ，考慮數(shù)列的單調(diào)性.
二、典例分析
題型1: 用觀察法求數(shù)列的通項公式
例1、根據(jù)下面各數(shù)列前幾項，寫出一個通項.
⑴-1,7,-13,19,…；
⑵7,77,777,777,…；
⑶ ， ， …；
⑷ ， ， ， ，…；
⑸ ， ， ， ， ，…；
根據(jù)數(shù)列前幾項的規(guī)律，寫出數(shù)列的一個通項公式，主要從以下幾個方面考慮：
⑴通常先將每項分解成幾部分（如符號、絕對值、分子、分母、底數(shù)、指數(shù)等），然后觀察各部分與項數(shù)n的關(guān)系寫通項.
⑵正負相間的問題，符號用（－1）n或（－1）n+1調(diào)節(jié)，這是因為n和n+1奇偶交錯.
⑶分式形式的數(shù)列，分子找通項，分母找通項，要充分借助分子、分母的關(guān)系.
⑷較復(fù)雜的數(shù)列的通項公式，可借助一些熟知數(shù)列，如數(shù)列{n2}，{ }，{2n}， ， {10n－1}，{1－10¬¬—n }等.
⑸有些數(shù)列的通項公式可用分段函數(shù)形式表示.
題型2: 運用an與Sn的關(guān)系求通項
例2、已知數(shù)列 的前n項的和 .
⑴寫出數(shù)列的通項公式；
⑵判斷 的單調(diào)性.
題型3:運用函數(shù)思想解決數(shù)列問題
例3、已知數(shù)列 中， 它的最小項是（ ）
A.第一項B.第二項C.第三項D. 第二項或第三項
題型4: 遞推數(shù)列
例4、⑴若數(shù)列 中， ，且各項滿足 ，寫出該數(shù)列的前5項．
⑵已知數(shù)列{an}中， ，且各項滿足 ，寫出該數(shù)列的前5項.
三、時作業(yè)
1.數(shù)列 …的一個通項公式是 （ ）
. .
. .
2.已知數(shù)列 滿足 ,則數(shù)列 是( )
A. 遞增數(shù)列B. 遞減數(shù)列C. 擺動數(shù)列D. 常數(shù)列
3.已知數(shù)列 的首項 且 ,則 等于( )
A. B. C. D.
4.已知數(shù)列 中, ,
則 等于( )
A. B. C. D.
5.已知數(shù)列 對任意的 滿足 ，且 ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
6.已知數(shù)列{ }的前 項和 ，第 項滿足 ，則 （ ）
A． B． C. D．
7.數(shù)列 ，…，則按此規(guī)律， 是這個數(shù)列的第 項.
8.已知數(shù)列 的通項公式 ，則 = ， 65是它的第 項.
9.在數(shù)列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x應(yīng)為_______.
10.寫出下列數(shù)列的通項公式：
① ， ， ， ，．．．；
② ， ， ， ，．．．；
③ ， ， ， ，．．．；
④ ， ， ， ， ，．．．；
⑤ ， ， ， ，．．．；
⑥1,0,1,0,1,0,…；
11.已知數(shù)列
（1）求這個數(shù)列的第10項；
（2） 是不是該數(shù)列中的項，為什么？
（3）求證：數(shù)列中的各項都在區(qū)間（0，1）內(nèi)；
（4）在區(qū)間 內(nèi)有無數(shù)列中的項？若有，有幾項？若無，說明理由.
12.已知數(shù)列 的通項公式為 .
(1)試問 是否是數(shù)列 中的項?
(2)求數(shù)列 的最大項.
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