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北京市第十八中學(xué)2014-2014學(xué)年第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末模擬考試
數(shù)學(xué)(理)試卷
第Ⅰ卷（　共40分）
一、 ：（共8道小題，每小題5分，共40分，選對(duì)一項(xiàng)得5分，多選則該小題不得分。）
1．下列曲線中離心率為 的是（ C ）
A． B． C． D．
2．下列有關(guān)命題的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ D ）
A．若 為假命題，則 、 均為假命題.
B．“ ”是“ ”的充分不必要條件.
C．命題“若 則 ”的逆否命題為：“若 則 ”.
D．對(duì)于命題 使得 ＜0，則 ，使 .
3．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90 ，PA⊥平面ABC，則四面體P-ABC中共有（ A ）個(gè)直角三角形
A.4 B.3 C.2 D.1
4．曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為 ( B )
A． x?y?2=0 B． x+y?2=0 C．x+4y?5=0 D．x?4y?5=0
5． 中， 、 ，則 AB邊的中線對(duì)應(yīng)方程為( B )
A． B． C． D．
6．已知P為△ABC所在平面α外一點(diǎn)，側(cè)面與底面所成的二面角相等，則P點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影一定是△ABC的( A )
A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心
7．如圖，橢圓 上的點(diǎn) 到焦點(diǎn) 的距離為2，
為 的中點(diǎn)，則 （ 為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值為( C )
A．8　　　B．2　　　C． 4　　　D．
8．已知△ 的頂點(diǎn) 、 分別為雙曲線 的左右焦點(diǎn)，頂點(diǎn) 在雙曲線
上，則 的值等于（ D ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非選擇題 共60分）
二、題：（共6道小題，每小題5分，共30分）
9．函數(shù)f (x)=x?ex的導(dǎo)函數(shù)f ?(x)= ；已知函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)的圖象如圖所示，記
，則
之間的大小關(guān)系為 。（請(qǐng)用“>”連接）。
答案：(1+x)ex 。
10．已知 ， 為兩平行平面的法向量，則 。
答案： 。
11．直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的高為3，底面是邊長(zhǎng)為4且 DAB=60 的菱形， ，則二面角 的大小為 。
答案： 60 。
12．命題“ ，使 成立”是假命題，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 。
答案：[0, 3]。
13．以正方形ABCD的相對(duì)頂點(diǎn)A、C為焦點(diǎn)的橢圓，恰好過(guò)正方形四邊的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為 ；設(shè) 和 為雙曲線 ( )的兩個(gè)焦點(diǎn), 若 ， 是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線的離心率為 ；經(jīng)過(guò)拋物線 的焦點(diǎn)作直線交拋物線于 兩點(diǎn)，若 ，則線段AB的長(zhǎng)等于__________．
答案： ； ；7。
14．已知命題p：存在 ，使 ，命題q： 的解集是 ，
下列結(jié)論：①命題“p且q”是真命題；②命題“p且q”是假命題；③命題“p或q”是真命題；
④命題“p或q”是假命題，其中正確的有 .
答案：①②③④。
三、解答題：（共4道小題，6+9+8+7分）
15．已知函數(shù) 圖象上一點(diǎn)P（2，f(2)）處的切線方程為 ，求a,b 的值。
解： ，
所以 ，解得 。
16．如圖四棱錐 的底面是正方形， ，點(diǎn)E在棱PB上，O為AC與BD的交點(diǎn)。（1）求證：平面 ； （2）當(dāng)E為PB中點(diǎn)時(shí)，求證： //平面PDA， //平面PDC。（3）當(dāng) 且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求 與平面 所成的角的大小。
證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵ ，
∴PD⊥AC， ∴AC⊥平面PDB，又 平面AEC ∴平面 .
（2）∵四邊形ABCD是正方形， ，在 中，又
// ，又
//平面PDA，同理可證 //平面PDC。
解：（3）∵ ， ，又
所以，可以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系D-xyz。設(shè)AB=1.則
D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0， ），
從而， ， ，
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為 。由 得
令z=1，得 。設(shè)AE與平面PBC所成的角 ，則
與平面PBC所成的角的正弦值為 。
17．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，點(diǎn) . (1) 求橢圓C的方程；
(2) 已知圓 ，雙曲線 與橢圓 有相同的焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓
相切，求雙曲線 的方程．
解：(1)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為 ，
從而 有解得
故橢圓C的方程為
(2)　橢圓C：x250＋y225＝1的兩焦點(diǎn)為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，
故雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c＝5.
設(shè)雙曲線G的方程為x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，則G的漸近線方程為y＝±bax，
即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25，
圓心為(0,5)，半徑為r＝3.∴5aa2＋b2＝3?a＝3，b＝4.
∴雙曲線G的方程為x29－y216＝1.
18．已知頂點(diǎn)在原點(diǎn), 焦點(diǎn)在x軸上的拋物線被直線y=2x+1截得的弦長(zhǎng)為 ，求拋物線的方程.
解：依題意可設(shè)拋物線方程為： （a可正可負(fù)），與直線y=2x+1截得的弦為AB；
則可設(shè)A（x1,y1）、B（x2,y2）聯(lián)立 得
即
得：a=12或-4（6分）
所以拋物線方程為 或


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