一、（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
1．（3分）（2013?郴州）5的倒數(shù)是（ �。�
A．?5B．5 C． D．?
考點：倒數(shù)．
分析：根據(jù)倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是1，我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù)．
解答：解：∵5× =1，
∴5的倒數(shù)是 ．
故選C．
點評：本題主要考查倒數(shù)的定義，要求熟練掌握．需要注意的是：
倒數(shù)的性質(zhì)：負數(shù)的倒數(shù)還是負數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，0沒有倒數(shù)．
倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是1，我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù)．
2．（3分）（2013?郴州）函數(shù)y= 中自變量x的取值范圍是（ �。�
A．x＞3B．x＜3C．x≠3D．x≠?3
考點：函數(shù)自變量的取值范圍．
分析：根據(jù)分母不等于0列式計算即可得解．
解答：解：根 據(jù)題意得，3?x≠0，
解得x≠3．
故選C．
點評：本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：
（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；
（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；
（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負．
3．（3分）（2013?郴州）下列圖案中，不是中心對稱圖形的是（ �。�
A． B． C． D．
考點：中心對稱圖形．
分析：根據(jù)中心對稱圖形的概念求解．
解答：解：A、是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
B、不是中心對稱圖形，故本選項正確；
C、是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
D、是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
故選B．
點評：本題考查了中心對稱圖形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握中心對稱圖形的概念．中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后重合．
4．（3分）（2013?郴州）下列運算正確的是（ ）
A．x?x4=x5B．x6÷x3=x2C．3x2?x2=3D．（2x2）3=6x6
考點：同底數(shù)冪的除法；合并同類項；同底數(shù)冪的；冪的乘方與積的乘方．
分析：結(jié)合各選項分別進行同底數(shù)冪的、同底數(shù)冪的除法、合并同類項、冪的乘方等運算，然后選出正確選項即可．
解 答：解：A、x?x4=x5，原式計算正確，故本選項正確；
B、x6÷x3=x3，原式計算錯誤，故本選項錯誤；
C、3x2?x2=2x2，原式計算錯誤，故本選項錯誤；
D、（2x2）3=8x，原式計算錯誤，故本選項錯誤；
故選A．
點評：本題考查了同底數(shù)冪的除法、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方等運算，屬于基礎(chǔ)題，掌握各運算法則是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）（2013?郴州）化簡 的結(jié)果為（ �。�
A．?1B．1C． D．
考點：分式的加減法．
分析：先把分式進行通分，把異分母分式化為同分母分式，再把分子相加，即可求出答案．
解答：解：
= ?
=
=1；
故選B．
點評：此題考查了分式的加減，根據(jù)在分式的加減運算中，如果是同分母分式，那么分母不變，把分子直接相加減即可；如果是異分母分式，則必須先通分，把異分母分式化為同 分母分式，然后再相加減即可．
6．（3分）（2013?郴州）數(shù)據(jù)1，2，3，3，5，5，5的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
A．5，4B．3，5C．5，5D．5，3
考點：眾數(shù)；中位數(shù)．
分析：根據(jù)眾數(shù)的定義即眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)和中位數(shù)的定義即中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大重新排列后，最中間的那個數(shù)即可求出答案．
解答：解：數(shù)據(jù)1，2，3，3，5，5，5中，
5出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
則眾數(shù)是5；
最中間的數(shù)是3，
則中位數(shù)是3；
故選D．
點評：此題考查了眾數(shù)和中位數(shù)，掌握眾數(shù)和中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到�。┲匦屡帕泻螅钪虚g的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)）．
7．（3分）（2013?郴州）在一年一度的“安仁春分藥王節(jié)”市場上，小明的媽媽用280元買了甲、乙兩種藥材．甲種藥材每斤20元，乙種藥材每斤60斤，且甲種藥材比乙種藥材多買了2斤．設(shè)買了甲種藥材x斤，乙種藥材y斤，你認為小明應(yīng)該列出哪一個方程組求兩種藥材各買了多少斤？（ ）
A． B．
C． D．
考點：由實際問題抽象出二元一次方程組．
分析：設(shè)買了甲種藥材x斤，乙種藥材y斤，根據(jù)甲種藥材比乙種藥材多買了2斤，兩種藥材共花費280元，可列出方程．
解答：解：設(shè)買了甲種藥材x斤，乙種藥材y斤，
由題意得： ．
故選A．
點評：本題考查了有實際問題抽象出二元一次方程組，難度一般，關(guān)鍵是讀懂題意設(shè)出未知數(shù)找出等量關(guān)系．
8．（3分）（2013?郴州）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一點．將Rt△ABC沿CD折疊，使B點落在AC邊上的B′處，則∠ADB′等于（ �。�
A．25°B．30°C．35°D．40°
考點：翻折變換（折疊問題）．
分析：先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)，再由圖形翻折變換的性質(zhì)得出∠CB′D的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
解答：解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°?25°=65°，
∵△CDB′由△CDB反折而成，
∴∠CB′D=∠B=65°，
∵∠CB′D是△AB′D的外角，
∴∠ADB′=∠CB′D?∠A=65°?25°=40°．
故選D．
點評：本題考查的是圖形的翻折變換及三角形外角的性質(zhì)，熟知圖形反折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
二、題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
9．（3分）（2013?郴州）據(jù)統(tǒng)計，我國今年夏糧的播種面積大約為415000000畝，415000000用科學記數(shù)法表示為 4.15×108�。�
考點：科學記數(shù)法?表示較大的數(shù)．
分析：科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．
解答：解：將415000000用科學記數(shù)法表示為4.15×108．
故答案為4.15×108．
點評：此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
10．（3分）（2013?郴州）已知a+b=4，a?b=3，則a2?b2= 12 ．
考點：平方差公式．
分析：根據(jù)a2?b2=（a+b）（a?b），然后代入求解．
解答：解：a2?b2=（a+b）（a?b）=4×3=12．
故答案是：12．
點評：本題重點考查了用平方差公式．平方差公式為（a+b）（a?b）=a2?b2．本題是一道較簡單的題目．
11．（3分）（2013?郴州）已知一個多邊形的內(nèi)角和是1080°，這個多邊形的邊數(shù)是 8�。�
考點：多邊形內(nèi)角與外角．
分析：根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：（n?2）?180 （n≥3）且n為整數(shù)）可得方程180（x?2）=1080，再解方程即可．
解答：解：設(shè)多邊形邊數(shù)有x條，由題意得：
180（x?2）=1080，
解得：x=8，
故答案為：8．
點評：此題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是熟練掌握計算公式：（n?2）?180 （n≥3）且n為整數(shù)）．
12．（3分）（2013?郴州）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+b?1=0有兩個相等的實數(shù)根，則b的值是 2�。�
考點：根的判別式．
專題：．
分析： 根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根，得到根的判別式的值等于0，即可求出b的值．
解答：解：根據(jù)題意得：△=b2?4（b?1）=（b?2）2=0，
則b的值為2．
故答案為：2
點評：此題考查了根的判別式，根的判別式的值大于0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；根的判別式的值等于0，方程有兩個相等的實數(shù)根；根的判別式的值小于0，方程沒有實數(shù)根．[來源:學+科+網(wǎng)]
13．（3分）（2013?郴州）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是圓上一點，∠BAC=70°，則∠OCB= 20 °．
考點：圓周角定理．
分析：根據(jù)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所 對的圓心角的一半得：∠BOC=2∠BAC，在等腰三角形OBC中可求出∠OCB．
解答：解：∵⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC=70°，
∴∠B0C=2∠BAC=2×70°=140°，
∵OC=OB（都是半徑），
∴∠OCB=∠OBC= （180°?∠BOC）=20°．
故答案為：20°．
點評：此題考查了圓周角定理，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．
14．（3分）（2013?郴州）如圖，點D、E分別在線段AB，AC上，AE=AD，不添加新的線段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一個條件是 ∠B=∠C（答案不唯一）�。ㄖ粚懸粋�條件即可）．
考點：全等三角形的判定．
專題：開放型．
分析：由題意得，AE=AD，∠A=∠A（公共角），可選擇利用AAS、SAS進行全等的判定，答案不唯一．
解答：解：添加∠B=∠C．
在△ABE和△ACD中，∵ ，
∴△ABE≌△ACD（AAS）．
故答案可為：∠B=∠C．
點評：本題考查了全等三角形的判定，屬于開放型題目，解答本題需要同學們熟練掌握三角形全等的幾種判定定理．
15．（3分）（2013?郴州）擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子的六個面上分別標有數(shù)字1～6，擲得朝上的一面的數(shù)字為奇數(shù)的概率是 ．
考點：概率公式．
分析：讓向上一面的數(shù)字是奇數(shù)的情況數(shù)除以總情況數(shù)6即為所求的概率．
解答：解：正方體骰子，六個面上分別刻有的1，2，3，4，5，6六個數(shù)字中，
奇數(shù)為1，3，5，則向上一面的數(shù)字是奇數(shù)的概率為 = ．
故答案為： ．
點評：此題主要考查了概率公式的應(yīng)用，明確概率的意義是解答的關(guān)鍵，用到的知識點為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
16．（3分）（2013?郴州）圓錐的側(cè)面積為6πcm2，底面圓的半徑為2cm，則這個圓錐的母線長為 3 cm．
考點：圓錐的計算．
分析：圓錐的側(cè)面積=底面周長×母線長÷2，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．
解答：解：設(shè)母線長為R，底面半徑是2cm，則底面周長=4π，側(cè)面積=2πR=6π，
∴R=3．
故答案為：3．
點評：本題利用了圓的周長公式和扇形面積公式求解．比較基礎(chǔ)，重點是掌握公式．
三、解答題（本大題共6小題，每小題6分，共36分）
17．（6分）（2013?郴州）計算：? +（2013? ）0?（ ）?1?2sin60°．
考點：實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．
專題：．
分析：先分別根據(jù)0指數(shù)冪及負整數(shù)指數(shù)冪的計算法則，特殊角的三角函數(shù)值計算出各數(shù)，再根據(jù)實數(shù)混合運算的法則進行計算即可．
解答：解：原式=2 +1?3?2×
=2 +1?3?
= ?2．
點評：本題考查的是實數(shù)的運算，熟知0指數(shù)冪及負整數(shù)指數(shù)冪的計算法則，特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．
18．（6分）（2013?郴州）解不等式4（x?1）+3≥3x，并把解集在數(shù)軸上表示出來．
考點：解一元一次不等式；在數(shù)軸上表示不等式的解集．
分析：首先去括號，然后移項、合并同類項，系數(shù)化成1，即可求得不等式的解集．
解答：解：去括號得：4x?4+3≥3x，
移項得：4x?3x≥4?3
則x≥1．
把解集在數(shù)軸上表示為：
點評：本題考查了解簡單不等式的能力，解答這類題學生往往在解題時不注意移項要改變符號這一點而出錯．
解不等式要依據(jù)不等式的基本性質(zhì)，在不等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或整式不等號的方向不變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)不等號的方向不變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數(shù)不等號的方向改變．
19．（6分）（2013?郴州）在圖示的方格紙中
（1）作出△ABC關(guān)于MN對稱的圖形△A1B1C1；
（2）說明△A2B2C2是由△A1B1C1經(jīng)過怎樣的平移得到的？
考點：作圖-軸對稱變換；作圖-平移變換．
專題：作圖題．
分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C關(guān)于MN的對稱點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)結(jié)合圖形解答．
解答：解：（1）△A1B1C1如圖所示；
（2）向右平移6個單位，再向下平移2個單位（或向下平移2個單位，再向右平移6個單位）．
點評：本題考查了利用軸對稱變換作圖，利用平移變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準確找出對應(yīng)點的位置以及變化情況是解題的關(guān)鍵．
20．（6分）（2013?郴州）已知：如圖，一次函數(shù)的圖象與y軸交于C（0，3），且與反比例函數(shù)y= 的圖象在第一象限內(nèi)交于A，B兩點，其中A（1，a），求這個一次函數(shù)的解析式．
考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．
分析：把A點坐標代入反比例函數(shù)解析式，即 可求出a，求得A點坐標，然后再把A、C點的坐標 代入一次函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式．
解答：解：∵A（1，a）在y= 的圖象上，
∴a=2，
∴A（1，2）．
又∵C（0，3）在一次函數(shù)的圖象，
設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，則
解得：k=?1，b=3，
故一次函數(shù)的解析式為y=?x+3．
點評：考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，本類題目的解決需把點的坐標代入函數(shù)解析式，靈活利用方程組求出所需字母的值，從而求出函數(shù)解析式．
21．（6分）（2013?郴州）游泳是一項深受青少年喜愛的體育活動，學校為了加強學生的安全意識，組織學生觀看了紀實片“孩子，請不要私自下水”，并于觀看后在本校的2000名學生中作了抽樣調(diào)查．請根據(jù)下面兩個不完整的統(tǒng)計圖回答以下問題：
（1）這次抽樣調(diào)查中，共調(diào)查了 400 名學生；
（2）補全兩個統(tǒng)計圖；
（3）根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，估算該校2000名學生中大約有多少人“一定會下河游泳”？
考點：條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖．
分析：（1）根據(jù)一定會的人數(shù)和所占的百分比即可求出總?cè)藬?shù)；
（2）用總?cè)藬?shù)減去其它人數(shù)得出不會的人數(shù)，再根據(jù)家長陪同的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)得出家長陪同時會的所占的百分比，從而補全統(tǒng)計圖；xkb1.com
（3）用2000乘以一定會下河游泳所占的百分百，即可求出該校一定會下河游泳的人數(shù)．
解答：解：（1）總?cè)藬?shù)是：20÷5%=400（人）；
（2）一定不會的人數(shù)是400?20?50?230=100（人），
家長陪同的所占的百分百是 ×100%=57.5%，
補圖如下：
（3）根據(jù)題意得：
2000×5%=100（人）．
答：該校2000名學生中大約有多少人“一定會下河游泳”有100人．
點評：本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小，用到的知識點是頻率= ．
22．（6分）（2013?郴州）我國為了維護隊釣魚島P的主權(quán)，決定對釣魚島進行常態(tài)化的立體巡航．在一次巡航中，輪船和飛機的航向相同 （AP∥BD），當輪船航行到距釣魚島20km的A處時，飛機在B處測得輪船的俯角是45°；當輪船航行到C處時，飛機在輪船正上方的E處，此時EC=5km．輪船到達釣魚島P時，測得D處的飛機的仰角為30°．試求飛機的飛行距離BD（結(jié)果保留根號）．
考點：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．
分析：作AF⊥BD，PG⊥BD，在Rt△ABF和△PDG中分別求出BF、GD的值，繼而可求得BD=BF+FG+DC的值．
解答：解：作AF⊥BD，PG⊥BD，垂足分別為F、G，
由題意得：AF=PG=CE=5km，F(xiàn)G=AP=20km，
在Rt△AFB中，∠B=45°，
則∠BAF=45°，
∴BF=AF=5，
∵AP∥BD，
∴∠D=∠DPH=30°，
在Rt△PGD中，tan∠D= ，即tan30°= ，
∴GD=5 ，
則BD=BF+FG+DC=5+20+5 =25+5 （km）．
答：飛機的飛行距離BD為25+5 km．
點評：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角和俯角構(gòu)造直角三角形，然后解直角三角形，難度一般．
四、證明題（本題8分）
23．（8分）（2013?郴州）如圖，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求證：四邊形DEBF是平行四邊形．
考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題：證明題．
分析：首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BEC=∠DFA，再加上條件∠ADF=∠CBE，AF=CE，可證明△ADF≌△CBE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BE=DF，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進行判定即可．
解答：證明：∵BE∥DF，
∴∠BEC=∠DFA，
在△ADF和△CBE中 ，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴BE=DF，
又∵BE∥DF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形．
點評：此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
五、（本題8 分）
24．（8分）（2013?郴州）烏梅是郴州的特色時令水果．烏梅一上市，水果店的小李就用3000元購進了一批烏梅，前兩天以高于進價40% 的價格共賣出150kg，第三天她發(fā)現(xiàn)市場上烏梅數(shù)量陡增，而自己的烏梅賣相已不大好，于是果斷地將剩余烏梅以低于進價20%的價格全部售出，前后一共獲利750元，求小李所進烏梅的數(shù)量．
考點：分式方程的應(yīng)用．
分析：先設(shè)小李所進烏梅的數(shù)量為xkg，根據(jù)前后一共獲利750元，列出方程，求出x的值，再進行檢驗即可．
解答：解：設(shè)小李所進烏梅的數(shù)量為xkg，根據(jù)題意得：
?40%?150（x?150）? ?20%=750，
解得：x=200，
經(jīng)檢驗x=200是原方程的解，
答：小李所進烏梅的數(shù)量為200kg．
點評：此題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出之間的等量關(guān)系，列出方程，解分式方程時要注意檢驗．
六、綜合題（本大共2小題，每小題10分，共20分）
25．（10分）（2013?郴州）如圖，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P為AC邊上一動點，設(shè)PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．
（1）證明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分別是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代數(shù)式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）當k=4時，求四邊形PEBF的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式．x為何值時，S有最大值？并求出S的最大值．
考點：等腰三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；解直角三角形．
分析：（1）根據(jù)等邊對等角可得∠A=∠C，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，從而得到∠CPE=∠C，即可得證；
（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出CM= CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的長，再根據(jù)結(jié)果整理可得EM+FN=BH；
（3）分別求出EM、FN、BH，然后根據(jù)S△PCE，S△APF，S△ABC，再根據(jù)S=S△ABC?S△PCE?S△APF，整理即可得到S與x的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的最值問題解答．
解答：（1）證明：∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵PE∥AB，
∴∠CPE=∠A，
∴∠CPE=∠C，
∴△PCE是等腰三角形；
（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，
∴CM= CP= ，tanC=tanA=k，
∴EM=CM?tanC= ?k= ，
同理：FN=AN?tanA= ?k=4k? ，
由于BH=AH?tanA= ×8?k=4k，
而EM+FN= +4k? =4k，
∴EM+FN=BH；
（3）解：當k=4時，EM=2x，F(xiàn)N=16?2x，BH=16，
所以，S△PCE= x?2x=x2，S△APF= （8?x）?（16?2x）=（8?x）2，S△ABC= ×8×16=64，
S=S△ABC?S△PCE?S△APF，
=64?x2?（8?x）2，
=?2x2+16x，
配方得，S=?2（x?4）2+32，
所以，當x=4時，S有最大值32．
點評：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，二次函數(shù)的最值問題，表示出各三角形的高線是解題的關(guān)鍵，也是本題的 難點．
26．（10分）（2013?郴州）如圖，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O(shè)為原點，OC、OA所在直線為軸建立坐標系．拋物線頂點為A，且經(jīng)過點C．點P在線段AO上由A向點O運動，點O在線段OC上由C向點O運動，QD⊥OC交BC于點D，OD所在直線與拋物線在第一象限交于點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E′是E關(guān)于y軸的對稱點，點Q運動到何處時，四邊形OEAE′是菱形？
（3）點P、Q分別以每秒2個單位和3個單位的速度同時出發(fā)，運動的時間為t秒，當t為何值時，PB∥OD？
考點：二次函數(shù)綜合題．
分析： （1）根據(jù)頂點式將A，C代入解析式求出a的值，進而得出二次函數(shù)解析式；
（2）利用菱形的性質(zhì)得出AO與EE′互相垂直平分，利用E點縱坐標得出x的值，進而得出BC，EO直線解析式，再利用兩直線交點坐標求法得出Q點坐標，即可得出答案；
（3）首先得出△APB∽△QDO，進而得出 = ，求出m的值，進而得出答案．
解答：解：（1）∵A（0，2）為拋物線的頂點，
∴設(shè)y=ax2+2，
∵點C（3，0），在拋物線上，
∴9a+2=0，
解得：a=? ，
∴拋物線為；y=? x2+2；
（2）如果四邊形OEAE′是菱形，則AO與EE′互相垂直平分，
∴EE′經(jīng)過AO的中點，
∴點E縱坐標為1，代入拋物線解析式得：
1=? x2+2，
解得：x=± ，
∵點E在第一象限，
∴點E為（ ，1），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把B（1，2），C（3，0），代入得：
，
解得： ，
∴BC的解析式為：y=?x+3，
將E點代入y=ax，可得出EO的解析式為：y= x，
由 ，
得： ，
∴Q點坐標為：（ ，0），
∴當Q點坐標為（ ，0）時，四邊形OEAE′是菱形；
（3）法一：設(shè)t為m秒時，PB∥DO，又QD∥y軸，則有∠APB=∠AOE=∠ODQ，
又∵∠BAP=∠DQO，則有△APB∽△QDO，
∴ = ，
由題意得：AB=1，AP=2m，QO=3?3m，
又∵點D在直線y=?x+3上，∴DQ=3m，
因此： = ，解得：m= ，
經(jīng)檢驗：m= 是原分式方程的解，
∴當t= 秒時，PB∥OD．
法二：作BH⊥OC于H，則BH=AO=2，OH=AB=1，HC=OC?OH=2，
∴BH=HC，∴∠BCH=∠CBH=45°，
易知DQ=CQ，
設(shè)t為m秒時PB∥OE，則△ABP∽△Q OD，
∴ = ，易知AP=2m，DQ=CQ=3m，QO=3?3m，
∴ = ，
解得m= ，經(jīng)檢驗m= 是方程的解，
∴當t為 秒時，PB∥OD．
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