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第三十四講 分式方程（組）
本講我們將介紹分式方程(組)的解法及其應(yīng)用．
【知識拓展】
分 母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．解分式方程組的基本思想是：化為整式方程．通常有兩種做法：一是去分母；二是換元．
解分式方程一定要驗根．
解分式方程組時整體代換的思想體現(xiàn)得很充分．常見的思路有：取倒數(shù)法方程迭加法，換元法等．
列分式方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵是找到相等關(guān)系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知數(shù)，需根據(jù)題競變換條件，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化．設(shè)未知數(shù)而不求解是常見的技巧之一．
例題求解
一、分式方程(組)的解法舉例
1．拆項重組解分式方程
【例1】解方程 ．
解析 直接去分母太繁瑣，左右兩邊分別通分仍有很復(fù)雜的分子．考慮將每一項分拆：如 ，這樣可降低計算難度．經(jīng)檢驗 為原方程的解．
注 本題中用到兩個技巧：一是將分式拆成整式加另一個分式；二是交換了項，避免通分后分子出現(xiàn)x．這樣大大降低了運算量．本講趣題引路中的問題也屬于這種思路．
2．用換元法解分式方程
【例2】解方程 ．
解析 若考慮去分母，運算量過大；分拆也不行，但各分母都是二次三項式，試一試換元法．
解 令x2+ 2x―8=y，原方程可化為
解這個關(guān)于y的分式方程得y=9x或y=－5x．
故當(dāng)y=9x時，x2+2x―8=9x，解得x1=8，x2=―1．
當(dāng)y=－5x時，x2+2x―8=－5x，解得x3=―8，x4=1．
經(jīng)檢驗，上述四解均為原方程的解．
注 當(dāng)分式方程的結(jié)構(gòu)較復(fù)雜且有相同或相近部分時，可通過換元將之簡化．
3．形如 結(jié)構(gòu)的分式方程的解法
形如 的分式方程的解是： ， ．
【例3】解方程 ．
解析 方程左邊兩項的乘積為1，可考慮化為上述類型的問題求解．
， 均為原方程的解．
4．運用整體代換解分式方程組
【例4】解方程組 ．
解析 若用常規(guī)思路設(shè)法消元，難度極大．注意到每一方程左邊分子均為單項式，為什么不試一試倒過來考慮呢?
解 顯然x=y=z=0是該方程組的一組解．
若x、y、z均不為0，取倒數(shù)相加得x=y=z=
故原方程組的解為x=y=z=0和x=y=z= ．
二、含字母系數(shù)分式方程根的討論
【例5】解關(guān)于x的方程 ．
解析 去分母化簡 為含字母系數(shù)的一次方程，須分類討論．
討論：（1）當(dāng)a2－1≠0時
①當(dāng)a≠0時，原方程解為x= ；
②當(dāng)a=0時，此時 是增根．
(2) 當(dāng)a2－1＝0時即a= ，此時方程的解為x≠ 的任意數(shù)；
綜上，當(dāng)a≠±1且a≠0時，原方程解為x= ；當(dāng)a=0時，原方程無解，；當(dāng)a= 時，原方程的解為x≠ 的任意數(shù)．
三、列分式方程解應(yīng)用題
【例6】 某商場在一樓和二樓之間安裝了一自動扶梯，以均勻的速度向上行駛，一男孩和一女孩同時從自動扶梯上走到二樓(扶梯行駛，兩人也走梯)．如果兩人上梯的速度都是勻速的，每次只跨1級，且男孩每分鐘走動的級數(shù)是女孩的2倍．已知男孩走了27級到達(dá)扶梯頂部，而女孩走了18級到達(dá)頂部．
（1）扶梯露在外面的部分有多少級?
(2)現(xiàn)扶梯近旁有一從二樓下到一樓的樓梯道，臺階的級數(shù)與 自動扶梯的級數(shù)相等，兩個孩子各自到扶梯頂部后按原 速度再下樓梯 ，到樓梯底部再乘自動扶梯上樓(不考慮扶梯與樓梯間的距離)．求男孩第一次迫上女孩時走了多少級臺階?
解析 題中有兩個等量關(guān)系，男孩走27級的時間等于扶梯走了S－27級的時間；女孩走18級的時間等于扶梯走S―18級的時間．
解 (1)設(shè)女孩上梯速度為x級／分，自動扶梯的速度為y級／分，扶梯露在外面的部分有S級，則男孩上梯的速度為2x級／分，且有
解得 S=54．
所以扶梯露在外面的部分有54級．
(2)設(shè)男孩第一次追上女孩時走過自動扶梯rn遍，走過樓梯n遍，則女孩走過自動扶梯(m―1)遍、走過樓梯(n―1)遍．
由于兩人所走的時間相等，所以有 ．
由(1)中可求得y=2x,代人上面方程 化簡得6n+m=16．
無論男孩第一次追上女孩是在自動扶梯還是在下樓時，m、n中都一定有一個是正整數(shù)，且0≤m―n≤1．
試驗知只有 m=3，n= 符合要求．
所以男孩第一次追上女孩時走的級數(shù)為3×27+ ×54=198(級)．
注 本題求解時設(shè)的未知數(shù)x、y，只設(shè)不求，這種方法在解復(fù)雜的應(yīng)用題時常用來幫助分析數(shù)量關(guān)系，便于解題．
【例7】 (江蘇省初中數(shù)學(xué)競賽C卷)編號為1到25的25個彈珠被分放在兩個籃子A和B中．15號彈珠在籃子A中，把這個彈珠從籃子A移至籃子B中，這時籃子A中的彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)等于原平均數(shù)加 ，籃子B中彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)也等于原平均數(shù)加 ．問原來在籃子A中有多少個彈珠?
解析 本題涉及A中原有彈珠，A、B中號碼數(shù)的平均數(shù)，故引入三個未知數(shù)．
解 設(shè)原來籃子A中有彈珠x個，則籃子B中有彈珠(25－x)個．又記原來A中彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)為a，B中彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)為b．則由題意得
，
解得x=9，即原來籃子A中有9個彈珠．

學(xué)力訓(xùn)練
（A級）
1．解分式方程 ．
2．若關(guān)于x的方程 有增根x=1，求k的值．
3．解分式方程 ．
4．解方程組 ．
5．丙、丁三管齊開，15分鐘可注滿全池；甲、丁兩管齊開，20分鐘注滿全池．如果四管齊開，需要多少時間可以注滿全池？
（B級）
1．關(guān)于x的方程 有唯一的解，字母已知數(shù)應(yīng)具備的條件是( )
A． a≠b B．c≠d C．c+d≠0 D．bc+ad≠0
2．某隊伍長6km，以每小時5 km的速度行進(jìn)，通信員騎馬從隊頭到隊尾送信，到 隊尾后退返回隊頭，共用了0.5 h，則通信員騎馬的速度為每小時 km．
3．某項工作，甲單獨作完成的天數(shù)為乙、丙合作完成天數(shù)的m倍，乙單獨作完成的天數(shù)為甲、丙合作完成天數(shù)的n倍，丙單獨作完成的天數(shù)為甲、乙合作完成天數(shù)的k倍，則 = ．
4．m為何值時，關(guān)于x、y的方程組： 的解，滿足 ， ？
5．(天津市中考題)某工程由甲、乙兩隊合做6天完成，廠 家需付甲、乙兩隊共8700元；乙、丙兩隊合做10天完成，廠家需付乙、丙兩隊共9500元；甲、丙兩隊合做5天完成全部工程的 ，廠家需付甲、丙兩隊共5500元．
(1)求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天?
(2)若工期要求不超過15天完成全部工程，問：由哪隊單獨完成此項 工程花錢最少?請說明理由．
6．甲、乙二人兩次同時在同一糧店購買糧食(假設(shè)兩次購買的單價不同)，甲每次購買糧食100kg，乙每次購買糧食用去100元．設(shè)甲、乙兩人第一次購買糧食的單價為x元／kg，第二次單價為y元／kg．
(1)用含x、y的代數(shù)式表示甲兩次購買糧食共需付款 元，乙兩次共購買 kg糧食．若甲兩次購買糧食的平均單價為每千克Ql元，乙兩次購糧的平均單價為每千克Q2元則Q1= ；Q2= ．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.douzifanli.com/chuer/66407.html

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